(16) الاشتقاق والدوال الأصلية
3- الدوال الاصلية لدالة عددية
3.1 انشطة وتعريق
3.1.1 أنشطة
لتكن F دالة عددية قابلة للاشتقاق على مجال I و f دالتها المشتقة (F'(x)=f(x)). اتمم الجدول
| F(x) | f(x) = F'(x) |
| x²+2x+3 | ... |
| x²+2x+5 | ... |
| 2x | |
| ... | 1 |
تصحيح
| F(x) | f(x) = F'(x) |
| x²+2x+3 | 2x + 2 |
| x²+2x+5 | 2x + 2 |
| x²+k (k∈IR) | 2x |
| x+k (k∈IR) | 1 |
الدالة x → 2x+2 هي الدالة المشتقة
للدالة العددية x → x²+2x+3
في حين الدالة x → x²+2x+3 تسمى دالة اصلية
للدالة
x → 2x+2
الدالة العددية x → x²+2x+5 هي أيضا دالة أصلية
للدالة x → 2x+2
الدالة العددية x → x³ هي دالة أصلية للدالة x → 3x²
3.1.2 تعريف
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I.
نقول ان دالة عددية F دالة أصلية للدالة f اذا تحقق ما يلي
1) F قابلة للاشتقاق على المجال I.
2) ∀x∈I: F'(x)=f(x).
3.2 خاصية
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I.
اذا كانت F دالة أصلية للدالة f فان F+k دالة أصلية للدالة f حيث k∈IR
بالاضافة الى ذلك مجموعة الدوال الأصلية للدالة f على المجال I هي مجموعة الدوال التي على الشكل F+k حيث k∈IR.
مثال 1
لتكن دالة عددية بحيث f(x)=2x
لكل x∈IR لدينا f(x)=2x=(x²)'.
اذن الدالة F: x → x² دالة أصلية للدالة f على IR
ومنه فان مجموعة الدوال الاصلية للدالة f هي مجموعة الدوال التي على الشكل x → x²+k حيث k∈IR.
مثال 2
لتكن دالة عددية بحيث f(x)=3x²+2.
الدالة F: x → x³+2x دالة اصلية للدالة f على IR
لان لكل x∈IR لدينا
F'(x)=(x³+2x)'=3x²+2=f(x)
ومنه فان مجموعة الدوال الاصلية للدالة f هي مجموعة الدوال التي على الشكل x → x³+2x+k حيث k∈IR.
خاصية
لتكن f دالة عددية و n∈IN*.
| الدالة f | الدالة الاصلية F | |||
| xn | 1 | xn+1+k (k∈IR) | ||
| n+1 | ||||
مثال 3
لتكن f دالة عددية بحيث f(x)=x²
الدالة f تقبل دوال اصلية F معرفة على IR كما يلي
| F(x) = | 1 | x2 + 1 + k |
| 2 + 1 |
اذن
| F(x) = | 1 | x3+k (k∈IR) |
| 3 |