3- Fonctions primitives

3.1 Activité et définition

3.1.1 Activité

Soit F une fonction dérivable sur un intervalle I et f sa fonction dérivée. Compléter le tableau

Correction

La fonction x→2x+2 est la fonction dérivée
de la fonction x→x²+2x+3
tandis que la fonction x→x²+2x+3 est appelée une primitive de la fonction x→2x+2.

La fonction x→x²+2x+5 est aussi une primitive de la fonction x→2x+2.

3.1.2 Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I si les deux conditions suivantes sont vérifiées
1) F est dérivable sur I.
2) (∀x∈I): F'(x)=f(x).

3.2 Propriété

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I.
Si F est une fonction primitive de f alors F+k tel que k∈IR est une fonction primitive de f.
De plus l'ensemble des fonctions primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F+k tel que k∈IR.

Exemple 1
Soit f une fonction définie par f(x)=2x
∀x∈IR on a f(x)=2x=(x²)'
donc la fonction F: x→x² est une fonction primitive de f sur IR.
ainsi l'ensemble des fonctions primitives F_k de f définies par F_k=x²+k tel que k∈IR.

Exemple 2
Soit f une fonction définie par f(x)=3x²+2
∀x∈IR on a f(x)=3x²+2==(x³+2x)'
donc la fonction F: x→x³+2x est une fonction primitive de f sur IR
ainsi l'ensemble des fonctions primitives F_k de f définies par F_k=x³+2x+k tel que k∈IR.

Propriété
Soit f une fonction numérique et n∈IN*.

Exemple 3
Soit f une fonction définie par f(x)=x²
f admet des fonctions primitives sur IR