Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	-2x + 1
	x - 1

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i^→ ; j^→)
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Calculer les limites suivantes

lim -∞

f(x)

lim +∞

f(x)

lim 1-

f(x)

lim 1+

f(x)

en Déduire les asymptotes de la courbe (C)
3) Montrer que pour tout x∈D

f '(x) =	1
	(x - 1)²

4) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
5) Construire les asymptotes et la courbe (C).

Correction

1) f est définie si x-1≠0 ou encore si x≠1
donc D=]-∞;1[∪]1;+∞[.

2) Limite de f en 1^- et 1⁺

Pour déterminer la limite au point 1 on étudie d'abord le signe de x-1

x		-∞		1		+∞
x - 1			-	0	+

Si (x → 1^-) alors (x-1 → 0^-)

lim 1-	f(x) =	lim 1-	-2x + 1
			x - 1

On a

-1	= + ∞
0-

donc

lim 1-

f(x) = +∞

Si (x → 1⁺) alors (x-1 → 0⁺)

-1	= - ∞	Donc	lim 1+	f(x) = - ∞
0+

LImite de f en -∞ et +∞

lim -∞	f(x) =	lim -∞	- 2x	= -2
			x

lim +∞	f(x) =	lim +∞	- 2x	= -2
			x

3) Rappel Pour déterminer les asymptotes de (C) on doit connaître les extrémités du domaine D

1-		1+
- ∞		+ ∞

Il y a quatre bords pour D

On a

lim 1-

f(x) = +∞

Donc la droite (D): x = 1 est asymptote à (C) à gauche à 1

Et on a également

lim 1+

f(x) = - ∞

Donc la droite (D): x = 1 est asymptote à (C) à droite à 1

On a

lim -∞

f(x) = -2

Donc la droite (D'): y = -2 est asymptote à (C) au voisinage de -∞

Et on a également

lim +∞

f(x) = -2

Donc la droite (D'): y = -2 est asymptote à (C) au voisinage de +∞

3) f دالة جذرية اذن قابلة للاشتقاق على D

ليكن x∈D

f'(x) =	(-2x+1)'(x-1) - (-2x+1)(x-1)'
	(x - 1)²
=	- 2(x-1) - (-2x+1)(1)
	(x - 1)²
=	- 2x + 2 + 2x - 1
	(x - 1)²

وبالتالي لكل x∈D لدينا

f ' (x) =	1
	(x - 1)²

4) Signe de f'(x)
On a ∀x∈D: (x-1)²>0
donc (∀x∈IR \{1})/ f'(x)>0
et cela signifie que f est strictement croissante sur ]-∞;1[ et strictement croissante sur ]1;+∞[
Tableau de variation de f

x		-∞			1			+∞
f '(x)			+		||		+
f		- 2	↗	+∞	||	-∞	↗	- 2

5) La courbe (C)