Rappel
Soit f une fonction dérivable sur I
1) f est croissante sur I ⇔ (∀x∈I) f'(x)≥0
2) f est décroissante sur I ⇔ (∀x∈I) f'(x)≤0
3) f est constante sur I ⇔ (∀x∈I) f'(x)=0
4) Si la fonction dérivée f' s'annule en a et change de signe au voisinage de a
alors f(a) est un extremum.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=x²-4x.
1) Déterminer f'(x) pour x∈IR.
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
3) Déduire un extremum de f.

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR on a f'(x)=2x-4.
2) Signe de la fonction dérivée f'
f'(x)=0 ⇔ 2x-4=0 ⇔ x=2.

Puisque a=2 > 0 alors

x		-∞		2		+∞
f'(x)			-	0	+

donc ∀x∈]-∞;2[ on a f'(x) < 0
et ∀x∈]2;+∞[ on a f'(x) > 0
ainsi f est strictement décroissante sur ]-∞;2] et strictement croissante sur [2;+∞[
Notons que 2 est considéré un point isolé car f'(2)=0

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

x² = +∞

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

x² = +∞

Tableau de variations

x		-∞		2		+∞
f '(x)			-	0	+
f		+∞	↘	-4	↗	+∞

f'(2)=0 et f' change de signe de (-) à (+) au voisinage de 2 donc f(2)=-4 est une valeur minimale de f.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)=-2x²+4x+3.
1) Déterminer f'(x) tel que x∈IR.
2) Etudier les variations de f et tracer son tableau de variations.
3) Déduire un extremum de f.

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(-2x²+4x+3)'=-4x+4
donc (∀x∈IR) on a f'(x)=-4x-4

2) f'(x)=0 ⇔ -4x+4=0 ⇔ x=1.
a=-4 < 0 donc

x		-∞		1		+∞
-4x + 4			+	0	-

Si x∈]-∞;1[ alors f'(x)>0
Si x∈]1;+∞[ alors f'(x)<0
donc f est strictement croissante sur ]-∞;1] et strictement décroissante sur [1;+∞[.

3) On calcule d'abord les limites suivantes

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

-2x² = - ∞

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

-2x² = - ∞

x		-∞		1		+∞
f '			+	0	-
f		-∞	↗	5	↘	-∞

3) f' s'annule en 1 et change de signe de (+) à (-) donc f(1)=5 est une valeur maximale donc un extremum de f sur IR.