للتذكير
لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I
1) f تزايدية على I ⇔ (∀x∈I) f'(x) ≥ 0
2) f تناقصية على I ⇔ (∀x∈I) f'(x) ≤ 0
3) f ثابتة على I ⇔ (∀x∈I) f'(x) = 0
4) اذا كانت الدالة المشتقة f' تنعدم في عدد a ينتمي الى المجال I وتتغير اشارتها بجوار a فان f(a) مطراف للدالة f أي قيمة قصوى أو قيمة دنيا.

تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x) = x² - 4x.
1) حدد f'(x) حيث x∈IR
2) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
3) استنتج مطرافا للدالة f.

تصحيح

1) f حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR لدينا
f '(x) = (x² - 4x)' = 2x - 4
اذن لكل x∈IR لدينا f '(x) = 2x - 4

2) اشارة f '
f '(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2
لدينا معامل x يساوي 2 (a=2 > 0) اذن

ومنه فان
اذا كان x∈]-∞ ; 2[ فان f '(x) < 0
اذا كان x∈]2 ; +∞[ فان f '(x) > 0
نستنتج اذن ان f تناقصية قطعا على ]-∞ ; 2]
وتزايدية قطعا على [2 ; +∞[
(ملاحظة العدد 2 يعتبر نقطة مهملة لان f '(2) = 0 )

نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

الدالة المشتقة f ' تنعدم في 2 أي f '(2) = 0
وتتغير اشارتها بجوار 2 من (-) الى (+)
اذن f(2) = -4 قيمة دنيا للدالة f

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x) = -2x² + 4x + 3
1) حدد f '(x) حيث x∈IR
2) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
3) استنتج مطرافا للدالة f

تصحيح

1) f دالة حدودية قابلة للاشتقاق على IR

ليكن x∈IR لدينا
f '(x) = (-2x² + 4x + 3)' = -4x + 4
اذن لكل x∈IR
لدينا f '(x) = -4x - 4
2) رتابة الدالة f
ندرس اشارة f '(x)
f '(x) = 0 ⇔ -4x + 4 = 0
⇔ -4x = -4 ⇔ x = 1
لدينا a = -4 < 0 اذن

اذا كان x∈]-∞ ; 1[ فان f '(x) > 0
اذا كان x∈]1 ; +∞[ فان f '(x) < 0
وهذا يعني أن f دالة تزايدية قطعا
على المجال ]-∞ ; 1] وتناقصية قطعا
على المجال [1 ; +∞[
نحسب النهايتين التاليتين لانشاء جدول التغيرات

3) الدالة المشتقة f' تنعدم في 1 أي f'(1)=0
وتتغير اشارتها بجوار 1 من (+) الى (-)
اذن f(1)=5 قيمة قصوى للدالة f على IR
اذن العدد 5 مطراف للدالة f.