(4) الاشتقاق والدوال الأصلية
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | -2x + 1 |
| x + 2 |
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f
2) أحسب الهايات التالية
lim - ∞ |
f(x) | lim + ∞ |
f(x) | |
lim (-2)- |
f(x) | lim (-2)+ | f(x) |
3) حدد f '(x) حيث x∈D
4) تحقق f أن نزايدية قطعا على المجالين
]-∞ ; -2[ و
]-2 ; +∞[
وأنشئ جدول تغيرات الدالة
5) حدد معادلة المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة ذات الأفصول 0
تصحيح
1) f دالة جذرية معرفة اذا كان
x + 2 ≠ 0
x + 2 = 0 ⇔ x = -2
اذن D = IR\{-2}
ونكتب أيضا D = ]-∞ ; -2[∪]-2 ; +∞[
2) تحديد النهايات عند -∞ و +∞
lim - ∞ |
f(x) | = | lim - ∞ | -2x | = -2 |
| x | |||||
lim + ∞ |
f(x) | = | lim + ∞ | -2x | = -2 |
| x |
لتحديد النهايات عند (-2)- و (-2)+
ندرس اشارة المقام x + 2 لان البسط يخالف الصفر والمقام ينعدم في (-2)
| x | -∞ | -2 | +∞ | |||
| x + 2 | - | 0 | + |
| 5 | = - ∞ | بماأن |
| 0- |
lim (-2)- | f(x) = - ∞ | فان |
| 5 | = + ∞ | بماأن |
| 0+ |
lim (-2)+ | f(x) = + ∞ | فان |
3) f دالة جذرية قابلة للاشتقاق على مجموعة تعريفها D. ليكن x∈D
| f '(x) = | (-2x+1)'(x+2) - (-2x+1)(x+2)' |
| (x + 2)² |
| = | -2(x+2) - (-2x+1) |
| (x + 2)² | |
| = | -2x - 4 + 2x - 1 |
| (x + 2)² |
| ∀x∈D: f '(x) = | -5 |
| (x + 2)² |
لدينا ∀x∈D: (x+2)²>0 و
-5<0
اذن ∀x∈D: f'(x)<0
وهذا يعني أن f تناقصية قطعا على المجالين
]-∞;-2[ و
]-2;+∞[
جدول تغيرات الدالة f
| x | -∞ | -2 | +∞ | |||||
| f' | - | - | ||||||
| f | - 2 | ↘ |
-∞ |
+ ∞ | ↘ |
-2 |
5) f قابلة للاشتقاق على IR\{-2}
وبما أن 0∈IR\{-2} فان f قابلة للاشتقاق في 0
وبالتالي المنحنى (C) يقبل مماسا T معادلته
y=f'(0)(x-0)+f(0)
لدينا
| f(0) = | -2.(0) + 1 | = | 1 |
| 0 + 2 | 2 | ||
| f '(0) = | -5 | = | -5 |
| (0 + 2)² | 4 |
وبالتلي
| T: y = | -5 | x + | 1 |
| 4 | 2 |