Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	-2x + 1
	x + 2

1) Déterminer D ensemble de définition de f.

2) Calculer les limites suivantes

lim - ∞	f(x)		lim + ∞	f(x)
lim (-2)-	f(x)		lim (-2)+	f(x)

3) Calculer f'(x) tel que x∈D
4) (a) Vérifier que f est strictement croissante sur les deux intervalles ]-∞-2[ et ]-2;+∞[.
(b) Tracer le tableau de variations de f.
5) Déterminer h'équation de la tangente à la courbe (C) de f au point d'abscisse 0.

Correction

1) f est définie si x+2≠0 ou encore si x≠-2
donc D=IR\{-2}=]-∞;-2[∪]-2;+∞[.

2) Limites

lim -∞	f(x) =	lim -∞	-2x	= -2
			x

lim +∞	f(x) =	lim +∞	-2x	= -2
			x

Limites de f en (-2)^- et (-2)⁺.
On étudie d'abord le signe de x+2 au voisinage de -2

x		-∞		-2		+∞
x+2			-	||	+

Si x → (-2)^- alors x+2 → 0^-

lim (-2)-	f(x)	=	5	= - ∞
			0-

Si x → (-2)⁺ alors x+2 → 0⁺

lim (-2)+	f(x)	=	5	= + ∞
			0+

3) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D . Soit x∈D

f'(x) =	(-2x+1)'(x+2) - (-2x+1)(x+2)'
	(x+2)²
=	-2(x + 2) - (-2x + 1)
	(x+2)²

Ainsi pour tout x∈D on a

f'(x) =	-5
	(x+2)²

Signe de f'(x)
On a -5<0 et (x+2)²>0
donc (∀x∈IR \{-2}) on a f'(x)<0
et cela signifie que f est strictement décroissante sur ]-∞;-2[ et sur ]-2;+∞[
Tableau de variations de f

x		-∞			-2			+∞
f'(x)			-		||		-
f		-2	↘	-∞	||	+∞	↘	-2

5) f est dérivable sur IR\{-2} donc f est dérivable au point 0 car 0∈IR\{-2}.

La courbe (C) est donc admet une tangente (T) d'équation y=f'(0)(x-0)+f(0). on a

f(0) =	-2.(0) + 1	=	1
	0 + 2		2
f '(0) =	-5	=	-5
	(0 + 2)²		4

ainsi

T: y =	-5	x +	1
	4		2