تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x) = 2x² - 4x + 1
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
(O ; i^→ ; j^→).
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f واحسب النهايتين التاليتين

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

2) احسب f'(x) حيث x∈D
3) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها 4) استنتج مطرافا للدالة f
5) (a) انشئ (C)
(b) حل مبيانيا المعادلة f(x) = 0
(c) حل مبيانيا المتراجحة f(x) ≤ 0

تصحيح

1) لدينا f حدودية اذن D = IR
حساب النهايات

lim - ∞	f(x)	=	lim - ∞	2x² = + ∞
lim + ∞	f(x)	=	lim + ∞	2x² = + ∞

2) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR

ليكن x∈IR
f '(x) = (2x² -4x + 1)' = 4x - 4
اذن لكل (x∈IR) f '(x) = 4x-4
3) اشارة f '(x)
f'(x) = 0 ⇔ 4x - 4 = 0
⇔ 4x = 4 ⇔ x=1
f'(x) تكتب على الشكل ax+b
ولدينا a=4 > 0 اذن

x		-∞		1		+∞
4x - 4			-	0	+

اذا كان x∈]-∞ ; 1[ فان f '(x) < 0
اذا كان x∈]1 ; +∞[ فان f '(x) > 0
وبالتالي الدالة f تناقصية قطعا على ]-∞ ; 1] وتزايدية قطعا على [1 ; +∞[
جدول التغيرات

x		-∞		1		+∞
f '(x)			-	0	+
f		+∞	↘	-1	↗	+∞

4) الدالة المشتقة f ' تنعدم في 1 اي f '(1) = 0
وتتغير اشارتها من (-) الى( +)
اذن الدالة f تقبل قيمة دنيا f(1) = -1

5) (a) منحنى الدالة f
لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى

(b) حل المعادلة f(x) = 0
يعني تحديد عدد نقط تقاطع المنحنى (C) ومحور الافاصيل (Ox)
المنحنى (C) يقطع محور الأفاصيل في نقطتين وبالتالي المعادلة f(x) = 0 تقبل حلين a و b حيث
0 < a < 1 و 1 < b < 2
(c) حلول المتراجحة f(x) ≤ 0
يعني تحديد المجالات التي يكون المنحنى (C) تحت محور الافاصيل
في المجال [a ; b] المنحنى (C) تحت محور الافاصيل (Ox) اذن مجموعة حلول المتراجحة f(x) ≤ 0
S = [a ; b] بحيث a و b حلين للمعادلة f(x)=0.