تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x)= -x²+ 4x
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
(O ; i^→ ; j^→)
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f واحسب النهايتين التاليتين

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

2) احسب f'(x) حيث x∈D.
3) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
4) استنتج مطرافا للدالة f
5) (a) انشئ (C)
(b) حل مبيانيا المعادلة f(x) = 0
(c) حل مبيانيا المتراجحة f(x) ≤ 0
(d) حل مبيانيا المتراجحة 3 ≤ f(x) ≤ 4

تصحيح

1) لدينا f حدودية اذن D = IR
حساب النهايات

lim - ∞	f(x)	=	lim - ∞	-x² = - ∞
lim + ∞	f(x)	=	lim + ∞	-x² = - ∞

2) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR
f '(x) = (-x²+ 4x)'
= -2x + 4

اذن لكل x∈IR لدينا f '(x) = -2x + 4
اشارة f '(x)
f'(x) = 0 ⇔ -2x + 4 = 0
⇔ -2x = -4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
f'(x) تكتب على الشكل ax+b
ولدينا a=-2 < 0 اذن

x		-∞		1		+∞
-2x + 4			+	0	-

اذا كان x∈]-∞ ; 2[ فان f '(x) > 0
اذا كان x∈]2 ; +∞[ فان f '(x) < 0

وبالتالي الدالة f تزايدية قطعا على ]-∞ ; 2] وتناقصية قطعا على [2 ; +∞[
جدول التغيرات

x		-∞		2		+∞
f '(x)			+	0	-
f		-∞	↗	4	↘	-∞

4) الدالة المشتقة f ' تنعدم في 2 أي f '(2) = 0
وتتغير اشارتها من (+) الى (-)
اذن الدالة f تقبل قيمة قصوى f(2) = 4

5) (a) لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى

(b) حل المعادلة f(x) = 0
يعني تحديد عدد نقط تقاطع المنحنى (C) ومحور الافاصيل (Ox)
المنحنى (C) يقطع محور الأفاصيل في نقطتين وبالتالي المعادلة f(x) = 0 تقبل حلين a=0 و b=4
(c) حلول المتراجحة f(x) ≤ 0
يعني تحديد المجالات التي يكون المنحنى (C) تحت محور الافاصيل
في المجالين ]-∞ ; 0] و [4 ; +∞[ المنحنى (C) تحت محور الافاصيل (Ox) اذن مجموعة حلول المتراجحة f(x) ≤ 0
S₂ = ]-∞ ; 0] ∪ [4 ; +∞[.

(d) حلول المتراجحات 3 ≤ f(x) ≤ 4
يعني تحديد المجالات التي يكون المنحنى (C) بين المستقيمين (D): y=3 و (D'): y=4
ملاحظة f(1)=3 و f(2)=4 و f(3)=3
اذا اسقطنا الجزء الصغير من الشلجم بين المستقيمين نجد قطعة ممثلة بالمجال [1 ; 3]
اذن مجموعة الحلول S₃=[1;3].