1.1.5 العدد الأسي e

يوجد عدد حقيقي وحيد نرمز له ب e
بحيث ln(e)=1 بالتقريب e≃2,718.

تمرين 1 tp

حل في IR كل من المعادلات التالية

تصحيح

1) المعادلة ln(x)=0 معرفة يعني x>0.
وبالتالي D₀=]0;+∞[. ليكن x∈D₀

لدينا ln(1)=0 اذن
ln(x)=0 ⇔ ln(x)=ln(1) ⇔ x=1
بما أن 1∈]0;+∞[ فان S={ 1 }.

2) المعادلة ln(x)=1 معرفة يعني x>0
وبالتالي D₁=]0;+∞[ ليكن x∈D₁.
لدينا ln(e)=1 اذن
ln(x)=1 ⇔ ln(x)=ln(e)
⇔ x=e.
بما أن e∈]0;+∞[ فان S={ e }.

3) المعادلة ln(x)=3 معرفة يعني x>0
وبالتالي D₂=]0;+∞[ ليكن x∈D₂.
ln(x)=3=3.1 ⇔ ln(x)=3ln(e).
نطبق الخاصية ln(xⁿ)=nln(x) اذن
ln(x)=3 ⇔ ln(x)=ln(e³)
⇔ x=e³
بما أن e³∈]0;+∞[ فان S={ e³ }.

4) المعادلة ln(x+3)=-2 معرفة يعني x+3>0
x+3>0 ⇔ x>-3 ⇔ x∈]-3;+∞[
وبالتالي D₃=]-3;+∞[ ليكن x∈D₃.
ln(x+3)=-2 ⇔ ln(x+3)=ln(e^-2).
⇔ x+3=e^-2 ⇔ x=-3+e^-2
وبما أن -3+e^-2>-3
فان S={-3+e^-2}.

تمرين 2 tp

حل في IR المعادلة (ln)²(x)-3ln(x)=0.

تصحيح

1) المعادلة (ln)²(x)-3ln(x)=0 معرفة
اذا كان x>0. ليكن x∈]0;+∞[
(ln)²(x)-3ln(x)=0
⇔ ln(x)(ln(x)-3)=0
⇔ ln(x) = 0 أو ln(x)-3=0.

⇔ (x=1 أو ln(x)=3)
⇔ (x=1 أو x=e³)
بما أن 1 و e³ ينتميان الى ]0;+∞[
فان S={1;e³}.

تمرين 3 tp

حل المتراجحات التالية
1) ln(x+2)≥0.
2) ln(x-1)≤2.
3) ln(2x)+ln(x+1)>0.
4) ln(x+1)+ln(x²) <ln2.
5) ln²(x)-ln(x)<0.