1.1.5 Le nombre exponentiel e

Il existe un nombre réel unique noté e
tel que ln(e)=1 approximativement e≃2,718.

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes

Correction

1) L'équation ln(x)=0 est définie
si x∈]0;+∞[donc De=]0;+∞[. Soit x∈De.
On a ln(1)=0 donc
ln(x)=0 ⇔ ln(x)=ln(1) ⇔ x=1.
Puisque 1∈]0;+∞[ alors S={ 1 }.

2) L'équation ln(x)=1 est définie
si x∈]0;+∞[ donc De=]0;+∞[. Soit x∈De.
On a ln(e)=1 donc
ln(x)=1 ⇔ ln(x)=ln(e) ⇔ x=e
Puisque e∈]0;+∞[ alors S={ e }.

3) L'équation ln(x)=3 est définie
si x∈]0;+∞[ donc De=]0;+∞[. Soit x∈De.
ln(x)=3=3.1 ⇔ ln(x)=3ln(e).
En utilisant la propriété ln(xⁿ)=nln(x)
on obtient
ln(x)=3 ⇔ ln(x)=ln(e³) ⇔ x=e³.
Puisque e³∈]0;+∞[ alors S={ e³ }.

4) L'équation ln(x+3)=-2 est définie
si x+3>0
x+3>0 ⇔ x>-3
⇔ x∈]-3;+∞[
donc De=]-3;+∞[. Soit x∈De.
ln(x+3)=-2 ⇔ ln(x+3)=ln(e^-2)
⇔ x+3=e^-2 ⇔ x=-3+e^-2
Puisque -3+e^-2>-3 alors S={ -3+e^-2}.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'équation
(ln)²(x)-3ln(x)=0

Correction

1) L'équation (ln)²(x)-3ln(x)=0 est définie
si x∈]0;+∞[ donc De=]0;+∞[. Soit x∈De.
(ln)²(x)-3ln(x)=0 ⇔ ln(x)(ln(x)-3) = 0
⇔ (ln(x)=0 ou ln(x)-3=0)

⇔ (x=1 ou ln(x)=3)
⇔ (x=1 ou x=e³).
Puisque (1;e³∈]0;+∞[)
alors S={1;e³}.

Exercice 3 tp

Résoudre les inéquations suivantes
1) ln(x+2)≥0.
2) ln(x-1)≤2.
3) ln(2x)+ln(x+1)>0.
4) ln(x+1)+ln(x²) <ln2.
5) ln²(x)-ln(x)<0.