حساب الاحتمالات (2)
1.2.3 فرضية تساوي الاحتمال
تعريف
في تجربة عشوائية اذا كانت جميع الامكانيات لها نفس الحظوظ لتتحقق فانه توجد فرضية تساوي الاحتمال
واحتمال كل امكانية معرف كما يلي
| p = | 1 |
| n |
حيث n هو عدد الامكانيات في التجربة العشوائية.
يمكن حساب احتمال حدث E بالطريقة التالية
| p(E) = | عدد النتائج المحققة |
| عدد النتائج الممكنة | |
| p(E) = | cardE |
| cardΩ |
مثال 1
يحتوي صندوق على 5 كرات مرقمة من 1 الى 5. جميع الكرات لا يمكن التمييز بينها باللمس.
نسحب كرة ونعتبر الحدث E: الرقم الذي يظهر أكبر من أو يساوي 3.
أحسب p(E).
تصحيح
1
2
3
4
5
لدينا cardΩ=5 و E={3;4;5} اذن cardE=3
ومنه فان
| p(E) = | cardE | = | 3 |
| cardΩ | 5 |
مثال 2
يحتوي صندوق على كرة بيضاء B وكرة خضراء V. نفترض أن احتمال سحب كرة بيضاء ضعف احتمال سحب كرة خضراء.
نسحب عشوائيا كرة من الصندوق.
احسب p(B) و p(V).
تصحيح
لدينا Ω={B;V} و p(Ω)=p(B)+p(V)=1.
بما ان p(B)=2p(V) فان
2p(V)+p(V)=1
ومنه فان
3p(V)=1
اذن
| p(B) = 1 - | 1 | و p(V ) = | 1 |
| 3 | 3 |
| p(B) = | 2 | وبالتالي |
| 3 |
ملاحظة لدينا p(B)≠p(V) في هذه الحالة B و V غير متساويي الاحتمال.
1.2.4 اتحاد وتقاطع حدثين
خاصيات
ليكن E و F حدثين من الفضاء الاحتمالي المنته (Ω;p).
1) اذا كان E∩F=∅
فان p(E∪F)=p(E)+p(F).
2) اذا كان E∩F≠∅
فان p(E∪F)=p(E)+p(F)-p(E∩F).
مثال
ليكن E و F حدثين من (Ω;p)
بحيث p(E)=0,5 و p(F)=0,7.
1) تحقق أن E∩F≠∅.
2) اذا كان p(E∪F)=0,8 احسب p(E∩F).
تصحيح
1) لدينا p(E)+p(F)=0,5+0,7
أي p(E)+p(F)=1,2
بما أن
1,2>1
فان E∩F≠∅
للتذكير احتمال حدث هو عدد محصور بين 0 و 1.
2) بما أن E∩F≠∅ فان
p(E∪F)=p(E)+p(F)-p(E∩F)
أي
0,8=0,5+0,7-p(E∩F)
اذن p(E∩F)=1,2-0,8=0,4.
تمرين 1 tp
يحتوي صندوق على كرتين حمراوين وكرة زرقاء وكرة خضراء. نسحب كرة من الصندوق علما أن جميع الكرات لا يمكن التمييز بينها باللمس. احسب احتمالات كل من الأحداث التالية
| R: سحب كرة حمراء | E: سحب كرة حمراء أو خضراء |
| V: سحب كرة خضراء | B: سحب كرة زرقاء |
تصحيح
1) توجد كرتان حمراوان في الصندوق اذن
| p(R) = | 2 | = | 1 |
| 4 | 2 |
2) توجد كرة واحدة زرقاء وكرة واحدة خضراء اذن
| p(B) = | 1 | p(V) = | 1 | |
| 4 | 4 |
3) الحدث E: هو اتحاد الحدثين R و V
أي E=R∪V وبما أن R∩V=∅ فان
| p(E) = p(R) + p(V) = | 2 | + | 1 |
| 4 | 4 |
| p(E) = | 3 |
| 4 |