Calcul de probabilités (2)
1.2.3 Hypothèse de l'équiprobabilité
Définition
Lors d'une expérience aléatoire, si toutes les éventualités ont la même chance de se produire, on dit qu'il y a équiprobabilité (ou que les issues sont équiprobables).
Si n est le nombre d'issues équiprobables (cardΩ=n) alors la probabilité de chaque issue
| p = | 1 |
| n |
Et on peut calculer la probabilité d'un événement E de la façon suivante
| p(E) = | nombre de résultats favorables |
| nombre de résultats possibles | |
| p(E) = | cardE |
| cardΩ |
Exemple 1 Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire une boule et on considère l'événement E: le numéro apparent est un nombre supérieur ou égal à 3.
1 2 3 4 5 On a cardΩ=5 et E={3;4;5}.
| p(E) = | cardE | = | 3 |
| cardΩ | 5 |
Exemple 2
Une urne contient une blanche B et une boule verte V. La probabilité de tire une boule blanche est le double de tirer une boule verte.
On tire au hasard une boule.
Calculer p(B) et p(V).
Correction
Ω= {B;V} et p(Ω)=p(B)+p(V)=1.
Puisque p(B)=2p(V) alors 2p(V)+p(V)=1
ou encore 3p(V)=1
donc
| p(V ) = | 1 | et p(B) = 1 - | 1 |
| 3 | 3 | ||
| ainsi p(B) = | 2 |
| 3 |
Remarque On a p(B)≠p(V) donc B et V ne sont pas équiprobables.
1.2.4 Union et intersection de deux événements
Propriétés
Soit E et F deux evenements de l'espace probabilisme fini (Ω;p)
1) Si E∩F=∅
alors p(E∪F)=p(E)+p(F).
2) Si E∩F≠∅
alors p(E∪F)=p(E)+p(F)-p(E∩F).
Exemple
Soit E et F deux événements de (Ω;p)
tels que p(E)=0,5 et p(F)=0,7.
1) Vérifier que E∩F≠∅.
2) Si p(E∪F)=0,8 calculer p(E∩F).
Correction
1) On a p(E)+p(F)=0,5+0,7=1,2
puisque 1,2>1 alors E∩F≠∅.
2) On a p(E∪F)=p(E)+p(F)-p(E∩F)
ou encore 0,8=0,5+0,7-p(E∩F)
donc p(E∩F)=1,2-0,8=0,4
Exercice 1 tp
Une urne contient deux boules rouges une boule bleue et une boules vertes. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire une boule de l'urne. Calculer la probabilité des événements suivants
| R: tirer 1 boule rouge | E: tirer 1 boule rouge ou verte |
| V: tirer 1 boule verte | B: tirer 1 boule bleue |
Correction
1) Il y a deux boules rouges dans l'urne.
| Donc p(R) = | 2 | = | 1 |
| 4 | 2 |
2) Il y a 1 boule bleue et 1 boule verte donc
| p(B) = | 1 | p(V) = | 1 | |
| 4 | 4 |
3) L'événement E: tirer 1 boule rouge ou verte
donc E=R∪V et puisque R∩V=∅ alors
| p(E) = p(R) + p(V) | = | 2 | + | 1 | = | 3 |
| 4 | 4 | 4 |