Calcul de probabilités (3)
1.2.5 Evénement contraire et événements incompatibles
Evénements contraires
Soient A et E deux événements de l'espace probabilisme fini (Ω;p).
A et E sont contraires signifie qu'ils sont disjoints et leur union est l'événement certain.
On a de plus p(E)=1-p(A).
En d'autre terme
(A et E sont contraires) ⇔ (E∩A=∅ et E∪A=Ω).
Notation Si E est l'événement contraire de A
on écrit A=Ē ou E=Ā.
Exemple
Une urne contient 7 jetons numérotés par 0 ; 2 ; 4 ; 13 ; 14 ; 17 ; 18 tous indisernables au toucher.
On tire un jeton et on considère l'événement E: le nombre apparent est impair
Calculons p(E) et p(Ē).
024
1314
1718
E={13;17} donc cardE=2 ainsi
| p(E) = | cardE | = | 2 |
| cardΩ | 7 |
Probabilité de l'événement contraire de E.
| p(Ē) = 1 - p(E) = 1 - | 2 | = | 5 |
| 7 | 7 |
Remarque Ē={0;2;4;14;18}.
Evénements incompatibles
Deux événements E et F sont imcompatibles signifie que E∩F=∅.
Notons que deux événements incompatibles ne se produisent jamais simultanément.
Exemple
Lorsqu'on lance une pièce de monnaie, pile P ou face F apparait, pas les deux.
Remarque Deux événements contraires sont incompatibles.
Exercice 1 tp
On lance une pièce de monnaie deux fois.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants
PP: Pile apparait deux fois.
FP: Face apparait puis pile.
E: Face apparait au moins une fois.
Correction
Ω={PP;PF;FP;FF} donc cardΩ=4.
PP: Pile apparait deux fois.
| p(PP) = | 1 |
| 4 | |
FP: Face apparait puis pile.
| p(FP) = | 1 |
| 4 | |
E: Face apparait au moins une fois.
E={FP;PF;FF}
donc
| p(E) = | 3 |
| 4 | |
Remarque
Dans ce cas on peut utiliser l'événement contraire de E.
Ē: Face n'apparait pas Ē=PP
p(Ē)=p(PP) ainsi p(E)=1-p(PP)
| p(E) = 1 - | 1 | = | 3 |
| 4 | 4 | ||