Calcul de probabilités (5)
2.1.2 Tirage successif et sans remise
Exemple 1
Une urne contient 5 boules bleues et dix boules vertes. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants
1) B: tirer deux boules bleues.
2) V: tirer deux boules vertes.
3) BV: tirer d'abord une boule bleue puis une boule verte.
4) D: tirer deux boules de couleurs différentes.
5) M: tirer deux boules de même couleur.
Correction
Le tirage est successif et sans remise, il s'agit donc des arrangement sans répétition.
| cardΩ = | A | 2 15 |
= 15×14 = 210 |
1) B: tirer deux boules bleues.
| cardB = | A | 2 5 |
= 5×4 = 20 |
| p(B) = | A | 2 5 |
= | 20 |
| A | 2 15 |
210 |
| ainsi p(B) = | 2 |
| 21 |
2) V: tirer deux boules vertes.
| cardV = | A | 2 10 |
= 10×9 = 90 |
| p(V) = | A | 2 10 |
= | 90 |
| A | 2 15 |
210 |
| ainsi p(B) = | 3 |
| 7 |
3) BV: tirer d'abord une boule bleue puis une boule verte
On a 5 possibilités de tirer un boule bleue et 10 possibilités de tirer une boule verte et d'après le principe de dénombrement
cardBV=5×10=50 donc
| p(BV) = | A | 1 5 |
A | 1 10 |
= | 5×10 |
| A | 2 15 |
210 |
| ainsi p(B) = | 5 |
| 21 |
4) D: tirer deux boules de couleurs différentes.
ou
signifie tirer (une boule bleue puis une boule verte) ou (une boule verte puis une boule bleue) l'ordre est important!
donc cardD=5×4+4×5=40 et donc
| p(D) = | A | 1 5 |
A | 1 10 |
+ | A | 1 10 |
A | 1 5 |
| A | 2 15 |
||||||||
Ainsi
| p(B) = | 5×10 + 10×5 | = | 10 |
| 210 | 21 |
5) M: tirer deux boules de même couleur.
ou
signifie tirer (deux boules bleues) ou (deux boules vertes)
donc cardM=5×4+10×9=110.
On a donc
| p(M) = | A | 2 5 |
+ | A | 2 10 |
||
| A | 2 15 |
||||||
ainsi
| p(M) = | 5×4 + 10×9 | = | 11 |
| 210 | 21 |