Les suites numériques (3)
2- Limite des suites de référence
2.1 Limite infinie (tend vers -∞ ou +∞)
2.1.1 Activité
Compléter le tableau et conclure
| n | .. | 10 | 10³ | 105 | .. | +∞ |
| n² | 0 | ... | ... | ... | .. | ... |
| n³ | 0 | ... | ... | ... | .. | ... |
| √(n) | 0 | ... | ... | ... | .. | ... |
2.1.2 Résultats
1) Plus la valeur n est élévée, plus la valeur de n² est élevée et se rapproche de + l'infini.
On dit donc la limite de la suite (n²) quand n tend vers +∞ est +∞ et on écrit
lim +∞ | (n²) | = +∞ |
2) Plus la valeur n est élévée, plus la valeur de n³ est élevée et se rapproche de + l'infini.
On dit donc la limite de la suite (n³) quand n tend vers +∞ est +∞ et on écrit
lim +∞ |
(n³) | = +∞ |
3) Plus la valeur n est élévée, plus la valeur de √(n) est élevée et se rapproche de + l'infini.
On dit donc la limite de la suite (√(n)) quand n tend vers +∞ est +∞ et on écrit
lim +∞ |
(√(n)) | = +∞ |
2.1.3 Définition
Soit (un) une suite numérique.
Si (un) tend vers +∞ quand n tend vers +∞
| on écrit | lim +∞ |
(un) = +∞ |
et on lit limite de (un) en +∞ est +∞.
2.1.4 Propriété
Pour tout entier naturel non nul p
lim +∞ |
(np) | = +∞ |
Exemples
lim +∞ |
(n4) | = +∞ | lim +∞ |
(n7) | = +∞ |
2.1.5 Suite tend vers -∞
Définition
Soit (un) une suite numérique.
Si (un) tend vers -∞ quand n tend vers +∞ on écrit
lim +∞ |
(un) = - ∞ |
Propriété
Soit (un) une suite numérique.
lim +∞ |
(un)n∈I = + ∞ ⇔ | lim +∞ |
(- un)n∈I = - ∞ |
Suites de référence. Soient n∈IN et p∈IN*.
lim +∞ |
(- n²) = - ∞ | lim +∞ |
(- √(n)) = - ∞ | |
lim +∞ |
(- n³) = - ∞ | lim +∞ |
(- np) = - ∞ |
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite définie par
| un = | - n³ + 2n² |
| n-2 |
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
- n³+ 2n² |
| n-2 |
| = | lim +∞ |
- n²(n-2) | |
| n-2 |
donc
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ | - n² |
ainsi
lim +∞ |
(un) | = - ∞ |