(5) المتتاليات العددية
3- العمليات على نهاية المتتاليات
3.1 نهاية المجموع والضرب
3.1.1 خاصيات
لتكن (un) و (vn) متتاليتين عدديتين وتقبلان نهاية منتهية عند +∞ و k∈IR.
lim +∞ |
(un+vn) | = | lim +∞ |
(un)+ | lim +∞ |
(vn) |
lim +∞ |
(un × vn) | = | lim +∞ |
(un) × | lim +∞ |
(vn) |
lim +∞ |
k(un) | = k | lim +∞ |
(un) |
ولدينا
lim +∞ |
(k + un) | = k + | lim +∞ |
(un) |
مثال
lim +∞ |
(-8 + | 1 | )= | )-8 + | lim +∞ |
1 |
| n² | n² |
| = -8 + 0 | = -8 |
3.1.2 مثال
لتكن (un) و (vn) متتاليتين عدديتين ومعرفتين كما يلي
| un = 10 + | 1 | و vn = -2 + | 1 |
| n | √(n) |
احسب
lim +∞ |
(un + vn) | و | lim +∞ |
(un × vn) |
تصحيح
lim +∞ |
(un) = 10 + | lim +∞ |
1 |
| n |
lim +∞ |
1 | = 0 ⇒ | lim +∞ |
(un) = 10 |
| n |
lim +∞ |
(vn) = -2 + | lim +∞ |
1 |
| √(n) |
lim +∞ |
1 | = 0 ⇒ | lim +∞ |
(un) = -2 |
| √(n) |
لدينا اذن
lim +∞ |
(un) = 10 | و | lim +∞ |
(vn) = -2 |
ومنه فان
lim +∞ |
(un + vn) | = 10 + (-2) = 8 |
lim +∞ |
(un × vn) | = 10 × (-2) = -20 |
3.2 نهاية الخارج
3.2.1 خاصيات
لتكن (un) متتالية عددية وتقبل نهاية منتهية و (vn) متتالية عددية وتقبل نهاية منتهية وغير منعدمة.
lim +∞ |
1 |
= | 1 |
|
| vn | lim +∞ |
(vn) | ||
lim +∞ |
un | = | lim +∞ |
(un) |
| vn | lim +∞ |
(vn) |
3.2.2 مثال
لتكن (un) و (vn) متتاليتين معرفتين كما يلي
| un = 12 + | 1 | و vn = -3 + | 1 |
| n² | √(n) |
بما أن
lim +∞ |
(un) = 12 | و | lim +∞ |
(vn) = -3 |
lim +∞ |
un | = | 12 | = -4 فان |
| vn | -3 |