(6) المتتاليات العددية
3.3 توسيع مفهوم النهاية
3.3.1 خاصيات
1) المجموع لتكن (un) و (vn) متتاليتين عدديتين.
lim +∞ | (un) | lim +∞ | (vn) | lim +∞ | (un + vn) | ||
| L | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | ||
| -∞ | -∞ | -∞ | |||||
| +∞ | -∞ | ╳ | |||||
| -∞ | +∞ | ╳ | |||||
2) الجذاء لتكن (un) و (vn) متتاليتين عدديتين.
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un x vn) | ||
| L< 0 | -∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | ||
| +∞ | -∞ | -∞ | |||||
| 0 | +∞ | ╳ | |||||
| -∞ | -∞ | +∞ | |||||
3) الخارج لتكن (un) و (vn) متتاليتين عدديتين
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un) | ||
| (vn) | |||||||
| L | L'≠0 | L | |||||
| L' | |||||||
| L > 0 | 0+ | +∞ | |||||
| L > 0 | 0- | -∞ | |||||
| +∞ | +∞ | ╳ | |||||
╳ يعني شكل غير محدد
lim +∞ |
(un) | lim +∞ |
(vn) | lim +∞ |
(un) | ||
| (vn) | |||||||
| +∞ | 0+ | +∞ | |||||
| 0 | 0 | ╳ | |||||
╳ يعني شكل غير محدد
3.3.2 أمثلة
1) احسب النهاية التالية
lim +∞ |
3n² + 2n - 5 |
تصحيح لدينا
lim +∞ |
3n² = +∞ | lim +∞ |
2n - 5 = +∞ |
وبما أن +∞ + ∞ = +∞ فان
lim +∞ | 3n² + 2n - 5 = +∞ |
2) احسب النهاية التالية
lim +∞ |
5n²-3n+4 |
تصحيح لدينا
lim +∞ |
5n² = +∞ | lim +∞ |
-3n + 4 = - ∞ |
بما أن +∞ - ∞ شكل غير محدد اذن لا يمكن استعمال العمليات مباشرة لذلك ينبغي استعمال طريقة أخرى كالتعميل مثلا
lim +∞ | 5n² - 3n = | lim +∞ | 5n²(1 - | 3 | ) |
| 5n |
بما أن
lim +∞ | 3 | = 0 |
| 5n |
فان
lim +∞ |
(1 - | 3 | ) = 1 |
| 5n |
اذن
lim +∞ |
5n² - 3n = | lim +∞ |
5n² × 1 = +∞ |
3) احسب النهاية التالية
lim +∞ |
-2n³-2n²+7 |
تصحيح لدينا
lim +∞ |
-2n³ = -∞ | lim +∞ |
-2n² + 7 = -∞ |
وبما أن -∞ - ∞ = -∞ فان
lim +∞ |
-2n³-2n²+7 = -∞ |