(8) المتتاليات العددية
3.4 نهاية متتالية هندسية (qn) q∈IR*
3.4.1 خاصية
(qn) حيث q∈IR* متتالية هندسية.
lim +∞ |
qn | = +∞ | اذا كان q>1 فان | (1 |
lim +∞ |
qn | =0 | اذا كان -1<q<1 فان | (2 |
3) اذا كان q≤-1 فان المتتالية ليست لها نهاية.
مثال 1
lim +∞ |
2n | = +∞ |
لان 2>1 .
مثال 2
lim +∞ | ( | 3 | )n | = 0 |
| 4 |
| -1 < | 3 | < 1 | لأن |
| 4 |
مثال 3
lim +∞ |
(-3)n |
لا توجد نهاية لان -3<-1.
تمرين 1 tp
لتكن (un) متتالية عددية بحيث
| un = 4 + ( | 1 | )n |
| 2 |
lim +∞ |
(un) | احسب النهاية |
تصحيح
lim +∞ |
un - 4 = | lim +∞ |
( | 1 | )n |
| 2 |
وبما أن
| -1 < | 1 | < 1 |
| 2 |
فان
lim +∞ |
( | 1 | )n = 0 |
| 2 |
لدينا اذن
lim +∞ |
(un - 4) = 0 |
وبالتالي
lim +∞ |
(un) = 4 |
تمرين 2 tp
احسب النهاية التالية
lim +∞ |
(3n - 2n) |
تصحيح
لدينا
| { | 3 > 1 ⇒ | lim +∞ |
3n = +∞ |
| 2 > 1 ⇒ | lim +∞ |
2n = +∞ |
+∞ - ∞ شكل غير محدد اذن لا يمكن استعمال العمليات مباشرة ولكن يمكن استعمال طريقة أخرى التعميل كمثال.
lim +∞ |
(3n - 2n) = | lim +∞ |
3n(1 - | 2n | ) |
| 3n |
| = | lim +∞ | 3n(1 - ( | 2 | )n) |
| 3 |
لدينا
| -1 < | 2 | < 1 | ⇒ | lim +∞ |
( | 2 | )n = 0 |
| 3 | 3 |
ومنه فان
lim +∞ |
(1 - ( | 2 | )n) = 1 |
| 3 |
لدينا 3>1 وبالتالي
lim +∞ |
(3n - 2n) = | lim +∞ |
3n | × 1 = +∞ |