تمرين 1 tp

لتكن (u_n)_n∈IN متتالية عددية معرفة كما يلي
u_n+1=2u_n+1 حيث n∈IN وحدها الاول u₀=3.
نعتبر متتالية عددية (v_n)_n∈IN معرفة كما يلي
v_n=u_n+1.
1) احسب v₀.
2) بين ان المتتالية (v_n) متتالية هندسية ينبغي تحديد اساسها.
3) حدد v_n بدلالة n.
4) استنتج u_n بدلالة n.

5) احسب النهاية

lim +∞

(un)

تصحيح

1) لدينا v_n=u_n+1
اذن v₀=u₀+1=3+1=4.
2) نبين أن (v_n) متتالية هندسية
من أجل ذلك نحسب v_n+1
لدينا v_n=u_n+1.

اذن
v_n+1=u_n+1+1
=(2u_n+1)+1=2(u_n+1)
وبما أن u_n+1=v_n فان v_n+1=2v_n
وهذا يعني أن (v_n) متتالية هندسية أساسها q=2
وحدها الأول v₀=4.
3) نحدد v_n بدلالة n
بما أن (v_n) متتالية هندسية
فان v_n=v₀qⁿ وبالتالي v_n=4×2ⁿ.

4) بما أن v_n=u_n+1 فان u_n=v_n-1
وبالتالي u_n=4×2ⁿ-1.
5) 2>1 اذن

lim +∞

2n = +∞

⇒

lim +∞

4.2n - 1 = +∞

وبالتالي

lim +∞

(un)

= +∞

تمرين 2 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية عددية معرفة كما يلي
u_n+1=-3u_n+4 حيث n∈IN* وحدها الاول u₁=3
نعتبر متتالية عددية (v_n)_n≥1 معرفة كما يلي
v_n=u_n-1.
1) احسب v₁.
2) بين ان المتتالية (v_n)_n≥1 متتالية هندسية ينبغي تحديد اساسها.
3) حدد v_n بدلالة n.
4) استنتج u_n بدلالة n.

5) هل المتتالية (v_n)_n≥1 تقبل نهاية ?

تصحيح

1) لدينا v_n=u_n-1 اذن v₁=u₁-1=3-1=2.
2) نبين أن (v_n) متتالية هندسية
من أجل ذلك نحسب v_n+1.
v_n+1=u_n+1-1=(-3u_n+4)-1
=-3u_n+3=-3(u_n-1)
اذن v_n+1=-3v_n
وبالتالي (v_n)_n≥1 متتالية هندسية أساسها -3.

3) نحسب v_n بدلالة n.
بما أن (v_n)_n≥1 متتالية هندسية
فان v_n=v₁q^n-1
أي v_n=2×(-3)^n-1 اذن

vn =	- 2	×(-3)n
	3

4) بما أن v_n=u_n-1 فان u_n=v_n+1
ومنه فان

un =	- 2	×(-3)n + 1
	3

5) -3<-1 اذن ((-3)ⁿ) ليست لها نهاية ومنه فان

- 2	×(-3)n + 1
3

ليست لها نهاية
وبالتالي المتتالية (u_n)_n≥1 ليست لها نهاية.