Les suites numériques (7)
Rappel
Limite de la suite géométique (qn) tel que q∈IR*
1) Si q>1
| alors | lim +∞ |
qn | = +∞ |
2) Si -1<q<1
| alors | lim +∞ |
qn | = 0 |
3) Si q≤-1 la suite n'a pas de limite.
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
(∀n∈IN): un=5+3n
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
lim +∞ |
(un) | = 5 + | lim +∞ |
3n = +∞ |
parsque 3>1
Exercice 2 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
(∀n∈IN): un=2+(-7)n
Prouver que la suite (un) n'a pas de limite
Correction
lim +∞ |
(un) - 2 = | lim +∞ |
(-7)n |
-7≤-1 donc la suite ((-7)n) par conséquent la suite (un) n'a pas de limite.
Exercice 3 tp
Soit (un) une suite numérique définie par
| un = 4 + ( | 1 | )n |
| 2 |
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
lim +∞ |
un = 4 | + | lim +∞ |
( | 1 | )n |
| 2 |
Puisque
| -1 < | 1 | < 1 |
| 2 |
alors
lim +∞ |
( | 1 | )n = 0 |
| 2 |
ainsi
lim +∞ |
(un) = 4 |
Exercice 4 tp
Soit (un) une suite numérique définie par un=3n-2n
| Calculer | lim +∞ |
(un) |
Correction
| On a | { | 3 > 1 ⇒ | lim +∞ |
3n = +∞ |
| 2 > 1 ⇒ | lim +∞ |
2n = +∞ |
+∞-∞ est une forme indéterminées par conséquent, les opérations ne peuvent pas être utilisées directement, il convient donc d’utiliser une autre méthode
lim +∞ |
(un) | = | lim +∞ |
3n(1 - | 2n | ) |
| 3n |
| = | lim +∞ |
3n(1 - ( | 2 | )n) |
| 3 |
on a
| -1 < | 2 | < 1 ⇒ | lim +∞ |
( | 2 | )n = 0 |
| 3 | 3 |
On a donc
lim +∞ |
(1 - ( | 2 | )n) = 1 |
| 3 |
et donc
lim +∞ |
(un) = | lim +∞ |
3n | × 1 |
puisque 3>1
| alors | lim +∞ |
(un) | = +∞ |