Exercice 1 tp

Soit (u_n)_n∈IN une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n+1 tel que n∈IN et u₀=3 son premier terme
On considère une suite (v_n)_n∈IN définie par
v_n=u_n+1
1) Calculer v₀
2) Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique sa raison doit être déterminée
3) Déterminer v_n en fonction de n
4) Déduire u_n en fonction de n.

5) Calculer la limite suivante

lim +∞

(un)

Correction

1) On a v_n=u_n+1
donc v₀=u₀+1 =3+1=4
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique
pour cela on détermine v_n+1
On a v_n=u_n+1

Donc
v_n+1=u_n+1+ =(2u_n+1)+1
=2(u_n+1)
Puisque u_n+1=v_n alors v_n+1=2v_n
et cela signifie que (v_n) est une suite géométrique de raison q=2
et son premier terme v₀=4
3) On détermine v_n en fonction de n
Puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n=v₀qⁿ ainsi v_n= x2ⁿ

4) Puisque v_n=u_n+1 alors u_n=v_n 1
et donc u_n=4x2ⁿ-1
5) 2 > 1 donc

lim +∞

2n = +∞

⇒

lim +∞

4.2n-1=+∞

ainsi

lim +∞

(un)

= +∞

Exercice 2 tp

Soit (u_n)_n≥1 une suite numérique définie par
u_n+1=-3u_n+4 tel que n∈IN* et u₁=3
On considère la suite (v_n)_n≥1 définie par
v_n=u_n-1
1) Calculer v₁
2) Montrer que (v_n)_n≥1 est une suite géométrique sa raison doit être déterminée
3) Déterminer v_n en fonction de n
4) Déduire u_n en fonction de n
5) La suite (v_n)_n≥1 admet elle une limite ?

Correction

1) On a v_n=u_n-1 donc v₁=u₁-1=3-1=2
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique
Pour cela on calcule v_n+1
v_n+1=u_n+1-1
= (-3u_n+4)-1 =-3u_n+3
=-3(u_n-1) =-3v_n
donc v_n+1= -3v_n
alors (v_n)_n≥1 est une suite géométrique de raison -3

3) Calculons v_n en fonction de n
Puisque (v_n)_n≥1 est une suite géométrique
alors v_n v₁q^n-1
ou encore v_n=2x(-3)^n-1 donc

vn =	- 2	x(-3)n
	3

4) Puisque v_n =u_n-1 alors u_n=v_n+1

Et donc

un =	- 2	x(-3)n+1
	3

5) -3 < -1 donc la suite ((-3)ⁿ) n'a pas de limite et également la suite

- 2	x(-3)n + 1
3

n'a pas de limite par conséquent la suite (u_n)_n≥1 n'a pas de limite.