تمرين 1 tp

لتكن (u_n)_n∈IN متتالية عددية معرفة كما يلي
u_n+1 = 2u_n + 1 حيث n∈IN و u₀ = 3
نعتبر متتالية عددية (v_n)_n∈IN معرفة كما يلي
v_n = u_n + 1.
1) احسب v₀
2) بين ان المتتالية (v_n) متتالية هندسية ينبغي تحديد اساسها
3) حدد v_n بدلالة n.

4) استنتج u_n بدلالة n واحسب النهاية

lim +∞

(un)

تصحيح

1) لدينا v_n = u_n + 1
اذن v₀ =u₀ + 1 = 3 + 1 = 4
2) نبين أن (v_n) متتالية هندسية
من أجل ذلك نحسب v_n+1
لدينا v_n = u_n + 1

اذن
v_n+1 = u_n+1 + 1
= (2u_n+1) + 1
= 2(u_n + 1)
وبما أن u_n + 1 = v_n فان v_n+1 = 2v_n
وهذا يعني أن (v_n) متتالية هندسية أساسها q=2
وحدها الأول v₀ = 4
3) نحدد v_n بدلالة n
بما أن (v_n) متتالية هندسية
فان v_n = v₀qⁿ وبالتالي v_n = 4×2ⁿ

4) بما أن v_n = u_n + 1 فان u_n = v_n - 1
وبالتالي u_n = 4×2ⁿ - 1

lim +∞

(un) - (-1) =

=

lim +∞

4×2n = +∞

لأن 2 > 1
+∞ - 1 = +∞ اذن

lim +∞

(un)

= +∞

تمرين 2 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية عددية معرفة كما يلي
u_n+1 = -3u_n + 4 حيث n∈IN* و u₁ = 3
نعتبر متتالية عددية (v_n)_n≥1 معرفة كما يلي
v_n = u_n - 1
1) احسب v₁
2) بين ان المتتالية (v_n)_n≥1 متتالية هندسية ينبغي تحديد اساسها
3) حدد v_n بدلالة n
4) استنتج u_n بدلالة n

5) هل المتتالية (v_n)_n≥1 تقبل نهاية ?

تصحيح

1) لدينا v₁ = u₀ - 1 اذن v₁ = 3-1 = 2
2) نبين أن (v_n) متتالية هندسية
من أجل ذلك نحسب v_n+1
v_n+1 = u_n+1 - 1
= (-3u_n + 4) - 1 = -3u_n + 3
= -3(u_n - 1) = -3v_n
اذن v_n+1 = - 3v_n
وبالتالي (v_n)_n≥1 متتالية هندسية أساسها -3

3) نحسب v_n بدلالة n
بما أن (v_n)_n≥1 متتالية هندسية
فان v_n = v₁q^n-1
أي v_n = 2×(-3)^n-1

vn =	- 2	×(-3)n اذن
	3

4) بما أن v_n=u_n-1 فان u_n=v_n+1 وبالتالي

un =	- 2	×(-3)n + 1
	3

5) -3 < -1 اذن ((-3)ⁿ) ليس لها نهاية ومنه فان المتتالية

(	- 2	×(-3)n + 1)
	3

ليس لها نهاية وبالتالي المتتالية (u_n)_n≥1 ليس لها نهاية.