Les applications (3)
2- Application bijective et bijection réciproque
2.1 Application injective
2.1.1 Exemple
Soit f une application définie de ℤ vers IN par f(x)=2x²
f(1)=2 et f(-1)=2 donc il existe deux
éléments -1 et 1 dans ℤ admetant la même image 2
dans IN. Dans ce cas on dit que l'application f n'est pas injective.
2.2.2 Définition
Soit f une application d'un ensemble E vers un ensemble F.
f est une application injective de E vers F si chaque élément de F admet au plus un antécédent dans E.
En d'autre terme
f est injective ⇔ ∀(x;x')∈E²: f(x)=f(x')⇒x=x'.
⇔ ∀(x;x')∈E²: x≠x'⇒f(x)≠f(x').
Exercice 1 tp
Soit f une application définie
de E=]-1 ; +∞[ vers F=]-∞ ; 1[ par
| f(x) = | x |
| x+1 |
Montrer que f est une application injective de E vers F.
Correction
Soient x et y deux éléments de l'ensemble E
On montre que si f(x)=f(y) alors x=y.
Il suffit d'utiliser des implications.
| f(x) = f(y) ⇒ | x | = | y | |
| x+1 | y+1 | |||
| ⇒ | x | - | y | = 0 |
| x+1 | y+1 |
| ⇒ | x(y+1) - (y(x+1) | = 0 |
| (x+1)(y+1) | ||
| ⇒ | x - y | = 0 |
| (x+1)(y+1) |
(x>-1) et (y>-1) ⇒(x+1)(y+1)≠0
donc x-y=0 ou encore x=y.
On a donc (∀(x;y)∈E²): f(x)=f(y) ⇒ x=y
et cela signifie que f est une application injective de E vers F.
Exercice 2 tp
Soit f une application définie de l'ensemble
E=[2;+∞[ vers l'ensemble F=[-1;+∞[ par
f(x)=x²-4x+3.
Montrer que f est une application injective de E vers F.
Correction
Soient x et y deux éléments de l'ensemble E.
On montre que si f(x)=f(y) alors x=y.
Il suffit d'utiliser des implications.
f(x)=f(y) ⇒ x²-4x+3=y²-4y+3
⇒ x²-4x-y²+4y=0
⇒ (x²-y²)-4(x-y)=0
⇒ (x-y)(x+y-4)=0
⇒ x-y=0 ou x+y-4=0
⇒ x=y ou x+y=4.
Supposons que x≠y alors x+y=4.
On a x∈E donc x≥2
et y∈E donc y≥2.
Puisque x≠y alors ne peuvent pas prendre la même valeur en même temps
donc x+y>2+2 ou encore x+y>4
ainsi x+y≠4 et cela contraste avec x+y=4
alors x=y.
On a donc f(x)=f(y) ⇒ x=y
ainsi f est une application injective de E vers F.