Exercice 1 tp

Soient G le barycentre des points pondérés (A;-3) ; (B;1) ; (C;1)
et E un point tel que AB^→=-2AE^→.
On considère F le projeté de E sur (AC) selon la direction (BC).
1) Montrer

2) Montrer que G appartient à la droite passant par A et par I, le milieu du segment [BC].
3) Montrer que IG^→=3IA^→.
4) Montrer que les droites (CE); (BF) ; (AI) se coupent en G.

Correction

1) Notons que la projection concerve le coefficent de colinéarité de deux vecteurs.
On a AB^→=-2AE^→ et A; C; F les projetés respectifs de A; B; E sur (AC) selon la direction (BC)
donc

2) G est le barycentre de (A;-3) ; (B;1) ; (C;1) et 1+1=2≠0 alors (B;1) et (C;1) admettent un centre de gravité, noté I ainsi G est le barycentre des points pondérés (A;-3) ; (I;2) et donc G∈(AI).

3) On montre que IG^→=3IA^→.
G est le barycentre de (A;-3) et (I;2) donc
-3GA^→+2GI^→ =O^→ ⇔-3GI^→-3IA^→+2GI^→=O
⇔ -GI^→=+3IA^→ ⇔ IG^→=3IA^→.

4) On a AB^→=-2AE^→
⇔ GB^→-GA^→=-2(GE^→-GA^→)
⇔ GB^→-3GA^→=-2GE^→
⇔ -GC^→=-2GE^→ ⇔ GC^→=2GE^→
donc G∈(CE).
de la même façon on montre que G∈(BF)
donc G∈(AI)∩(CE)∩(BF).