Le barycentre dans le plan (5)
Exercice 1 tp
Soient (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) quatre points pondérés.
I- 1) Montrer que (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) admettent un barycentre, noté G.
2) Tracer G.
II- 1) Soit K un point tel que AK→ = DB→
Montrer que K est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) et (D;-1).
2) Montrer que G est le milieu du segment [CK] et tracer K et G.
Correction
I- 1) (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) admettent un barycentre G car a=1; b=1; c=1 ; d=-1 et a+b+c+d=2≠0
2) Les points A ; B et C sont des points affectés par le même coefficient
donc ils admettent un centre de gravité H
ainsi ∀M on a MA→ +MB→+MC→=3MH→.
Soit I le milieu du segment [BC]
AH→ = | 2 | AI→ |
3 |
G est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) signifie que
G est le barycentre de (H;3) et (D;-1)
ou encore
(∀M) on a MA→+MB→+MC→-MD→=2MG→
ou encore 3MH→-MD→=2MG→
on pose M=H donc
-HD→ = 2HG→
alors HG→ = - | 1 | HD→ |
2 |
II- 1) Soit M un point du plan
En utilisant la relation de chasles on obtient
AK→=DB→
⇔AM→ + MK→ = DM→ + MB→
⇔ Mk→ = -AM→ + MB→ + DM→
⇔ MK→ = MA→ + MB→ - MD→
⇔ MA→ + MB→ - MD→ = MK→
⇔ MA→ + MB→ - MD→=(1+1-1)MK→
et cela signifie que K est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) et (D;-1).
2) G est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1)
En utilisant l'association on obtient que G est le barycentre des points (K;1) et (C;1)
K et C ont le même poids 1 donc G est le centre de symétrie des points K et C
ou encore G est le milieu du segment [CK].