Mathématiques du secondaire qualifiant

Le barycentre dans le plan (5)

Exercice 1 tp

Soient (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) quatre points pondérés.
I- 1) Montrer que (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) admettent un barycentre, noté G.
2) Tracer G.
II- 1) Soit K un point tel que AK = DB
Montrer que K est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) et (D;-1).
2) Montrer que G est le milieu du segment [CK] et tracer K et G.

Correction

I- 1) (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) admettent un barycentre G car a=1; b=1; c=1 ; d=-1 et a+b+c+d=2≠0
2) Les points A ; B et C sont des points affectés par le même coefficient
donc ils admettent un centre de gravité H
ainsi ∀M on a MA +MB+MC=3MH.
Soit I le milieu du segment [BC]

AH = 2 AI
3

G est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1) signifie que
G est le barycentre de (H;3) et (D;-1)
ou encore
(∀M) on a MA+MB+MC-MD=2MG
ou encore 3MH-MD=2MG
on pose M=H donc
-HD = 2HG

alors HG = - 1 HD
2

II- 1) Soit M un point du plan
En utilisant la relation de chasles on obtient
AK=DB
⇔AM + MK = DM + MB
⇔ Mk = -AM + MB + DM
⇔ MK = MA + MB - MD
⇔ MA + MB - MD = MK
⇔ MA + MB - MD=(1+1-1)MK
et cela signifie que K est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) et (D;-1).

2) G est le barycentre des points pondérés (A;1) ; (B;1) ; (C;1) et (D;-1)
En utilisant l'association on obtient que G est le barycentre des points (K;1) et (C;1)
K et C ont le même poids 1 donc G est le centre de symétrie des points K et C
ou encore G est le milieu du segment [CK].