3- Monotonie et Extremums

3.1 Signe de la dérivée

3.1.1 Théorème

Soit f une fonction dérivable sur intervalle I.
f est caroissante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)≥0.
f est décaroissante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)≤0.
f est constante sur I ⇔ (∀x∈I): f'(x)=0.

3.1.2 Propriété

Soit f une fonction dérivable sur intervalle I.
1) f est strictement caroissante sur I
⇔ (∀x∈I): f'(x)>0.
2) f est strictement décaroissante sur I
⇔ (∀x∈I): f'(x)<0.

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x²-2x+3.
f est une fonction polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IR on a f'(x)=2x-2.

Signe de f'(x)

x		-∞		1		+∞
f'(x)			-	0	+

f'(x)≤0 si x≤1 et f'(x)≥0 si x≥1
donc f est strictement décroissante sur ]-∞;1[ et strictement croissante sur ]1;+∞[.

lim -∞	f(x) =	lim -∞	x² = +∞
lim +∞	f(x) =	lim +∞	x² = +∞

x		-∞		1		+∞
f'(x)			-	0	+
f		+∞	↘	2	↗	+∞

On a de plus 2 est une valeur minimale de f en 1.

Exercice 1 tp

Etudier la monotonie de la fonction f définie par

f(x) =	5x+1
	x+3

et tracer son tableau de variations.

Correction

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D=IR\{-3}. Soit x∈D

f'(x) = (	5x+1	)' =	14
	x+3		(x+3)²

14>0 et (x+3)²>0 donc (∀x∈D): f'(x)>0.

mais D est l'union de deux intervalles disjoints
on dit f est strictement croissante sur ]-∞;-3[ et strictement croissante sur ]-3;+∞[.

lim -∞	f(x) =	lim -∞	5x+1
			x+3

=	lim -∞	5x	= 5
		x

lim +∞	f(x)=	lim +∞	5x+1
			x+3

=	lim +∞	5x	= 5
		x

x		-∞		-3		+∞
Signe de x+3			-	||	+

lim -3-	f(x) =	lim -3-	5x+1
			x+3

=	-14	= +∞
	0-

lim -3+	f(x) =	lim -3+	5x+1
			x+3

=	-14	= - ∞
	0+

x	-∞			-3			+∞
f'(x)		-		||		+
f	5	↗	+∞	||	-∞	↗	5

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = x+1+	1
	x

1) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
2) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.