Dérivation (9)
2.2.2 Résultats
Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.
Exemple 1
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 2x+5 |
| x-4 |
Calculer f'(x).
Correction
f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition D=IR\{4}. Soit x∈D
| f '(x) = ( | 2x+5 | )' |
| x-4 | ||
| = | (2x+5)'(x-4)-(2x+5)(x-4)' | |
| (x-4)² | ||
| = | (2)(x-4)-(2x+5)(1) | |
| (x-4)² | ||
| = | - 13 | |
| (x-4)² |
Exemple 2
Soit g une fonction définie par
| g(x) = | x²-2x |
| x²+1 |
Calculer g'(x).
Correction
g est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition D=IR
car (∀x∈IR): x²+1≠0. Soit x∈D.
| g '(x) = ( | x²-2x | )' |
| x²+1 |
| = | (x²-2x)'(x²+1)-(x²-2x)(x²+1)' |
| (x²+1)² | |
| = | (2x-2)(x²+1)-(x²-2x)(2x) |
| (x²+1)² | |
| = | 2x³+2x-2x²-2-2x³+4x² |
| (x²+1)² | |
| g'(x) = | 2x²+2x-2 |
| (x²+1)² |
2.3 Dérivée de √(f)
2.3.1 Propriété
Soit f une fonction dérivable et stricrement positive sur un intervalle I.
La fonction √(f) est dérivable sur I et de plus
| (∀x∈I): (√f)'(x) = | f'(x) | 2√f(x) |
|---|
2.3.2 Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x)=√(x²+x+1).
Calculer f'(x).
Correction
On considère le trinôme p(x)=x²+x+1
Δ=b²-4ac=1²-4.1.1=-3>0
donc p(x) est de signe de a=1>0
(∀x∈IR): x²+x+1>0
ainsi D=IR.
p(x) est dérivable sur IR car c'est un polynôme et de plus strictement positif
alors f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
| f '(x) = | (x²+x+1)' | = | 2x+1 | 2√(x²+x+1) | 2√(x²+x+1) |