Dérivation (8)
2- Opérations sur la dérivée
2.1 Dérivée de la somme et du produit
2.1.1 Propriétés
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I.
k∈IR et n∈IN*.
Les fonctions f+g ; kf ; fg et fn sont
dérivables sur I et on a (∀x∈I)
| (f+g)'(x) = | f'(x)+g'(x) |
| (kf)'(x) = | kf'(x) |
| (fg)'(x) = | f '(x)g(x)+f(x)g'(x) |
| (fn)'(x) = | nfn-1f '(x) |
| (f(ax+b))'(x) = | af'(ax+b) |
2.1.2 Résultats
1) (∀x∈IR): (xn)'=nxn-1 tel que (n∈IN*).
2) Les fonctions polynômes sont dérivables sur IR.
Exemple 1
Soit f une fonction définie par
f(x)=x³+5x²+7x+13.
Calculer (∀x∈IR): f'(x).
Correction
f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(x³+5x²+7x-13)'
=(x³)'+(5x²)'+(7x)-(13)'
( (13)'=0) donc f'(x)=3x²+5(2.x)+7(1.x°)+0
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=3x²+10x+7.
Exemple 2
Soit f une fonction définie par
f(x)=(x²-7x)(3x+5).
Calculer f'(x).
Correction
f est le produit de deux fonctions polynômes donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(x²+x)(-x-4)]'
=(x²+x)'(-x-4)+(x²+x)(-x-4)'
=((2.x+1)(-x-4)+(x²+x)(-1)
=(-2x²-8x-x-4)+(-x²-x)
=-3x²-10x-4
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=- 3x²-10x-4.
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)=(x³-3x)(1-5x).
Calculer f'(x).
Correction
f est le produit de deux fonctions polynômes donc f est dérivables sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(x³-3x)(1-5x)]'
=(x³-3x)'(1-5x)+(x³-3x)(1-5x)'
=((3x²-3)(1-5x)+(x³-3x)(-5)
=(3x²-15x³-3+15x)+(-5x³+15x)
=-20x³+3x²+30x-3
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=-20x³+3x²-30x-3.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)=(5x²-1)².
Calculer f'(x).
Correction
f est le carré d'une fonction polynôme donc f est dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=[(5x²-1)²]'
=2(5x²-1)'(5x²-1)2-1
=2(5.2x)(5x²-1)=20x.5x²-20x
ainsi (∀x∈IR): f'(x)=100x3-20x.
2.2 Dérivée de l'inverse
2.2.1 Propriétés
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I et g ne s'annule pas sur I.
L'inverse de g et le quotient f sur g sont dérivables sur I et de plus
| (∀x∈I): ( | 1 | )' = | -g'(x) |
| g | (g(x))² | ||
| (∀x∈I): ( | f | )' = | f'(x)g(x)-f(x)g'(x) |
| g | (g(x))² |