Exercice 1 tp

Soit f une application définie de ℚ² vers IR
par f(x;y)=x+y√2.
1) Montrer que f est injective.
2) f est elle surjective ?

Correction

1) Soit (x;y); (z;t)∈ℚ² tel que f(x;y)=f(z;t)
on montre que (x;y)=(z;t) on a
f(x;y)=f(z;t)⇒ x+y√2=z+t√2
⇒ x-z + (y-t)√2=0
⇒ x-z=0 و y-t=0 car x-z; y-t∈ℚ

⇒ x=z et y=t
⇒ (x;y)=(z;t)
ainsi f est injective.
2) L'application f n'est pas surjective
contre exemple √3∈IR n'a pas d'antécédent.

Exercice 2 tp

Soit f une application définie de [-1;+∞[ dans IR⁺
par f(x)=x-2√(x).
1) Montrer que l'application f n'est pas injective.

2) Montrer que l'application f est surjective.
3) On considère g la restriction de l'application f sur [1;+∞[.
Montrer que l'application g est bijective.

Correction

1) On a f(0)=f(4)=0 et 0≠4 donc f n'est pas injective.
2) On montre que f est surjective
soit y∈[-1;+∞[. ∃x∈IR⁺ ?: f(x)=y
f(x)=y⇒ x-2√(x)=y

⇒ x-2√(x)-y=0
⇒ (√x)²-2.1.√(x)+1²-1-y=0 tel que x≥0
⇒ (√(x) -1)²=y+1
⇒ |√(x) -1|=√(y+1) tel que y≥-1
⇒ √(x)=1+√(y+1) ou √(x)=1-√(y+1)
puisque 1+√(y+1)> 0 alors x peut prendre la valeur
(1+√(y+1))² ou 2+y+2√(y+1).
3) On montre que la restriction g est bijective
de [1;+∞[ vers [-1;+∞[.

Soit y∈[-1;+∞[. ∃!x∈[1; +∞[ ?: f(x)=y
f(x)=y⇒ x-2√(x)=y
d'après ce qui précède
f(x)=y⇒ x-2√(x)=y
⇒ √(x)=1+√(y+1) ou √(x)=1-√(y+1)
puisque x≥1 alors √x ne peut pas prendre la valeur 1-√(y+1) sauf si y=-1
sinon √x=1+√(y+1)∈[1;+∞[
x=(1+√(y+1))² et unique
ainsi g est bijective de [1;+∞[ vers [-1;+∞[.

Exercice 3 tp

Soit f une application définie de I=]-1;+∞;+∞[ vers J=]-∞;1[ par

f(x) =	x
	x+1

1) Vérifier que ∀x∈I

f(x) = 1 -	1
	x+1

2) Montrer que f(I)=J.
3) Montrer que f est bijective de I vers J.

Exercice 4 tp

Soit f une application définie de IR vers IR par
f(x)= x²-2x-1.
1) Vérifier que (∀x∈IR): f(x)= (x-1)²-2.
2) f est lle injective ?
3) f est elle surjective ?

4) Soit g la restriction de l'application f sur l'intervalle I=[1;+∞[.
(a) Montrer que g(I)=[-2;+∞[.
(b)) Montrer que g est bijective de l'intervalle I vers l'intervalle J=[-2;+∞[.