2- Droite vectorielle et Plan vectoriel

2.1 Droite vectorielle

2.1.1 Colinéarités de deux vecteurs

u^→ et v^→ sont deux vecteurs colinéaires si et selement s'il existe un nombre réel k tel que v^→=ku^→.

2.1.2 Alignement de trois points

A ; B et C sont trois points alignés si et selement si AB^→ et AC^→ sont colinéaires.
En d'autre terme A ; B et C sont alignés équivaut à AC^→=kAB^→ tel que k∈IR.

2.1.3 Définition

Soient A et B deux points distincts.
Tout vecteur non nul u^→ et colinéaire avec le vecteur AB^→ est un vecteur directeur de la droite (AB).

2.1.4 Propriété

Soient A un point et u^→ un vecteur non nul.
L'ensemble des points M tels que AM^→=ku^→ et k∈IR est la droite D(A;u^→) passant par A et de vecteur direteur u^→.
D(A;u^→)={M∈𝔼/ AM^→=ku^→ avec k∈IR}.

2.2 Définition vectorielle d’un plan

2.2.1 Définition

Soit ℙ un plan.
Si A ; B et C sont trois points non aligés dans le plan ℙ alors ℙ est le plan passant par A et orienté par les deux vecteurs AB^→ et AC^→.

2.2.2 Résultat

Deux vecteurs u^→ et v^→ non colinéaires et un point A déterminent un plan passant par A et orienté par u^→ et v^→.

2.2.3 Propriété

Soient u^→ et v^→ deux vecteurs non colinéares et A un point.
L'ensemble des points M tel que AM^→=ku^→+tv^→ tavec k et t deux nombres réels est un plan passant par A et orienté par u^→ et v^→ noté ℙ(A;u^→;v^→).
ℙ={M∈(E)/ AM^→=ku^→+tv^→ avec k;t∈IR}.

2.3 Coplanarité

2.3.1 Définition 1

On dit que quatre points sont coplanaires s'ils se trouvent sur le même plan.

2.3.2 Définition 2

On dit que trois vecteurs u^→ ; v^→ et w^→ sont coplanaires s'ils existent quatre points coplanaires A; B; C et D tels que u^→=AB^→ ; v^→=AC^→ et w^→=AD^→.

En d'autre terme
u^→ ; v^→ et w^→ sont coplanaires
si (∃A;B;C;D∈𝔼): u^→=AB^→ ; v^→=AC^→ ; w^→=AD^→ et D∈(ABC).