تحليلية الفضاء (5)
2- معادلات بارامترية لمستقيم ومستوى
2.1 معادلات بارامترية لمستقيم
2.1.1 تعريف وخاصية
الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→). المستقيم (D) المار من النقطة A(xA;yA;zA) والموجه بالمتجهة u→(a;b;c) هو المجموعة
{M(x;y;z)∈𝔼 / AM→=tu→, t∈IR}.
| M(x;y;z)∈(D) ⇔ { | x = xA + ta | t∈IR |
| y = yA + tb | ||
| z = zA + tc |
هذه النظمة تسمى تمثيلا بارامتريا للمستقيم (D) وسيطه t (أو معادلات بارامترية للمستقيم (D)).
2.1.2 مثال
ليكن D(A;u→) مستقيما بحيث A(-1;5;3) و u→(4;7;10).
M(x;y;z)∈(D) ⇔ (∃t∈IR): AM→=tu→.
| ⇔ { | x = -1 + 4t | (t∈IR) |
| y = 5 + 7t | ||
| z = 3 + 10t |
هذه النظمة تسمى تمثيلا بارامتريا للمستقيم (D) وسيطه t.
تمرين 1 tp
ليكن D(A;u→) مستقيما معرفا بالتمثيل البارامتري التالي
| { | x = -1 + 4t | (t∈IR) |
| y = 5 + 7t | ||
| z = 3 + 10t |
1) تحقق أن A(3;12;13) نقطة من المستقيم (D).
2) حدد متجهة موجهة للمستقيم (D).
2.2 معادلات بارامترية لمستوى
2.2.1 تعريف وخاصية
الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→). المستوى ℙ المار من النقطة A(xA;yA;zA) وموجه بمتجهتين غير مستقيميتين u→(a;b;c) و v→(a';b';c') هو المجموعة
{M(x;y;z)∈𝔼 / AM→=ku→+tv→, (k;t∈IR)}.
| M(x;y;z)∈ℙ ⇔ { | x = xA + ka + ta' | (k;t∈IR) |
| y = yA + kb + tb' | ||
| z = zA + kc + tc' |
هذه النظمة تسمى تمثيلا بارامتريا للمستوى ℙ (أو معادلات بارامترية للمستوى ℙ).
2.2.2 مثال
ليكن ℙ مستوى مارا من النقطة A(1;2;3) وموجه بالمتجهتين u→(4;-1;5) و v→(0;7;-2).
1) حدد معادلات بارامترية التي تعرف المستوى ℙ.
2) هل النقطة B(-3;10;-4) تنتمي الى المستوى ℙ ?
تصحيح
1) M(x;y;z)∈ℙ ⇔ (∃k;t∈IR): AM→=ku→+tv→
| ⇔ (S) { | x = 1+4k | (k; t∈IR) |
| y = 2-k+7t | ||
| z = 3+5k-2t |
هذه النظمة تسمى تمثيلا بارامتريا للمستوى ℙ.
2) ندرس ان كان
(-3;10;-4) يحقق النظمة (S)
يعني (∃k;t∈IR): OB→=ku→+tv→.
من أجل ذلك نضع x=-3 و y=10 و z=-4.
| { | -3 = 1+4k | ⇔ | { | 4k = -4 |
| 10 = 2-k+7t | -k+7t=8 | |||
| -4 = 3+5k-2t | 5k-2t=-7 |
4k=-4⇔k=-1
-(-1)+7t=8⇔t=1
5.(-1)-2.1=-5-2=-7
اذن (∃k=-1;t=1): OB→=-u→+v→ وبالتالي B∈ℙ.