تحليلية الفضاء (6)
3- معادلة ديكارتية لمستوى - معادلات ديكارتية لمستقيم
3.1 معادلة ديكارتية لمستوىn
3.1.1 تعريف وخاصية
الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→). المستوى ℙ المار من نقطة A والموجه بمتجهتين u→ و v→ هو مجموعة النقط M من الفضاء 𝔼 بحيث AM→ و u→ و v→ مستوائية.
M∈ℙ ⇔ det(AM→;u→;v→)=0.
3.1.2 مبرهنة
المعادلة الديكارتية لمستوى تكتب على الشكل
ax+by+cz+d=0 بحيث (a;b;c)≠(0;0;0).
مثال
ليكن ℙ مستوى مارا من النقطة A(1;2;2) وموجه بالمتجهتين u→(1;4;1) و v→(1;0;2)
تحقق أن ℙ موجود وحدد معادلة ديكارتية له.
تصحيح
1) نفترض أن u→ و v→ مستقيميتان.
(∃k∈IR): v→=ku→
اذن
1=k و
0=4k و
2=2k ومنه فان k=0 و k=1 وهذا غير ممكن ومنه فان u→ و v→ غير مستقيميتان اذن ℙ موجود.
| M(x;y;z)∈ℙ⇔ | x-1 | 1 | 1 | = 0 |
| y-2 | 4 | 0 | ||
| z-2 | 1 | 2 |
⇔(x-1)(8-0)-(y-2)(2-1)+(z-2)(0-4)=0
وبالتالي
8x-y-4z+2=0 معادلة ديكارتية للمستوى ℙ.
3.2 معادلات ديكارتية لمستقيم
3.2.1 تعريف وخاصيات
ليكن (D) مستقيما مارا من النقطة A(xA;yA;zA) وموجه بالمتجهة u→(a;b;c).
اذا كان abc≠0 فان (D) معرف بالمعادلات المستنتجة من تمثيله البارامتري.
| x-xA | = | y-yA | = | z-zA |
| a | b | c |
تسمى معادلات ديكارتية للمستقيم (D).
3.2.2 مثال
ليكن D(A,u→) مستقيما بحيث A(2;4;1) و u→(5;7;10).
حدد معادلات ديكارتية تعرف المستقيم (D).
تصحيح
M(x ; y ; z)∈(D) ⇔
| x-2 | = | y-4 | = | z-1 |
| 5 | 7 | 10 |
تمرين 1 tp
الفضاء 𝔼 منسوب الى معلم متعامد ممنظم (O;i→;j→;k→). نعتبر في 𝔼 مستقيما (D) معرفا بالمعادلات الديكارتية التالية
| x+1 | = | y-2 | = | 1-z |
| 2 | 4 | 2 |
حدد نقطة ومتجهة موجهة للمستقيم (D) واستنتج تمثيلا بارامتريا له.
تصحيح
| x+1 | = | y-2 | = | 1-z | |
| 2 | 4 | 2 | |||
| ⇔ | x+1 | = | y-2 | = | z-1 |
| 2 | 4 | - 2 |
اذن A(-1;2;1) نقطة من (D)
و u→(2;4;-2) متجهة موجهة للمستقيم (D)
اذن (D)=D(A;u→).
M(x;y;z)∈(D) ⇔ (∃t∈IR): AM→ = tu→
| ⇔ { | x = -1 + 2t | (t∈IR) |
| y = 2 + 4t | ||
| z = 1 - 2t |
هذه النظمة هي تمثيلا بارامتريا للمستقيم (D).