Etude des fonctions numériques (3)
1.2.2 Branche parabolique de direction l'axe des ordonnées
Soit f une fonction qui admet une limite infinie en ±∞ et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
| Si | lim ±∞ | f(x) | = ±∞ |
| x |
alors la courbe (C) admet une Branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (Oy) au voisinage de ±∞.
Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x².
On a
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
x² = +∞ |
lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x² | = | lim +∞ |
x = +∞ |
| x | x |
alors (C) admet une branche parabolique de direction
l'axe des ordonnées (Oy).
Notons qu'on peut faire la même chose au voisinage de -∞.
1.2.3 Branche parabolique de direction (D): y=ax
Soit f une fonction numérique qui admet une limite infinie en +∞ ou -∞ et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i→;j→).
| Si | lim ±∞ |
f(x) | = a | et | lim ±∞ |
f(x)-ax = ±∞ |
| x |
alors (C) admet une branche parabolique de direction (D): y=ax.
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par f(x)=2x+√(x) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
Déterminer une branche parabolique de la courbe (C).
Correction
D'abord on vérifie que f admet une limite infinie en +∞ car D=IR+.
1) On a
lim +∞ |
2x = +∞ | lim +∞ |
√(x) = +∞ |
| donc | lim +∞ | f(x) = +∞ |
| 2) | lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ | 2+ | √(x) |
| x | x |
lim +∞ |
√(x) | = | lim +∞ |
1 | = 0 |
| x | √(x) |
| Donc | lim +∞ | f(x) | = 2 |
| x |
| 3) | lim +∞ | f(x)-2x = | lim +∞ | √(x) = +∞ |
alors la courbe (C) admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y=2x.
