1.3 Point d’inflexion et concavité

1.3.1 Concavité d’une courbe

Définitions
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
1) Si la courbe (C) est au-dessus de toutes ses tangentes alors elle est convexe. (sa concavité est orientée vers les ordonnées positives).

2) Si la courbe (C) est au-dessous de toutes ses tangentes alors elle est concave. (sa concavité est orientée vers les ordonnées négatives).

Exemples
1) Soit f une fonction définie par f(x)=2x²+1 et (C) sa courbe représentative dans un repère.
f est un polynôme donc dérivble sur IR.

La courbe (C) est au-dessus de toutes ses tangentes dans IR donc (C) est donc convexe sur IR.

2) Soit f une fonction définie par f(x)=-x²+4x et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
f est un polynôme donc dérivble sur IR.

La courbe (C) est au-dessous de toutes ses tangentes dans IR donc (C) est concave sur IR.

1.3.2 Point d’inflexion

Définition
Soit f une fonction dérivable sur intervalle I ; a∈I et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
Un point A(a;f(a)) est un point d'inflexion de la courbe (C) si la concavité de (C) change au point A.

Exemple
Soit f une fonction définie par f(x)=x³ et (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i^→;j^→).
Le point O est un point d'inflexion de la courbe (C).