Etude des fonctions numériques (5)
1.3.3 Propriétés
Soit f une fonction dérivable double sur un intervalle I et (C) sa courbe
représentative dans un repère (O;i→;j→).
1) Si (∀x∈I): f"(x)≥0 alors (C) est convexe.
2) Si (∀x∈I): f"(x)≤0 alors (C) est concave.
3) Si (∀x∈I): f"(a)=0 et f" change de signe au point a alors le point A(a;f(a)) est un point d'inflexion de la courbe (C).
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie sur IR-* par
| f(x) = x+2+ | 2 | + | 2 |
| x | 3x² |
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
Etudier la concavité de la courbe (C) et déterminer son point d'inflexion.
Correction
f est une fonction rationnelle donc dérivable double sur IR*.
f est donc dérivable double sur IR-*. Soit x∈IR-*.
| f '(x) = 1- | 2 | - | 4 |
| x² | 3x³ |
| f "(x) | = | 4 | + | 4 | = | 4(x+1) |
| x³ | x4 | x4 |
| x | -∞ | -1 | 0 | |||
| f "(x) | - | 0 | + | |||
| (C) | ∩ | A(-1;f(-1)) | ∩ |
f" s'annule au point -1 et change de signe de (-) à (+)
la courbe (C) est donc concave sur ]-∞;-1] et convexe sur [-1;0[.
