النهايات (2)
2- النهاية المنتهية والنهاية غير المنتهية عند نقطة
2.1 نهاية غير منتهية عند نقطة
2.1.1 تعريف
لتكن f دالة عددية و a∈IR
اذا كانت f تؤول الى +∞ عندما x تؤول الى a,
نكتب
lim(x→a)f(x)=+∞
lim(x→a)f(x)=+∞⇔(∀A>0)(∃α>0)|x-a|<α⇒|f(x)|>A
اذا كانت f تؤول الى -∞ عندما x تؤول الى a,
نكتب
lim(x→a)f(x)=-∞
2.1.2 مثال 1
| lim 0 | 1 | =+∞ |
| x² |
2.1.3 مثال 2
| lim 3 | 1 | =? |
| (x-3)² |
تصحيح
f غير معرفة عند 3, ولكن من الممكن حساب نهايتها عند
3, نضع t=x-3.
اذا كان x→3, فان t→0
اذن
| lim 3 | 1 | = | lim t→0 | 1 | =+∞ |
| (x-3)² | t |
وبالتالي
| lim 3 | 1 | =+∞ |
| (x-3)² |
2.2 نهاية منتهية عند نقطة
2.2.1 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
| f(x)= | x²-1 |
| x-1 |
| x | 0,9 | 0,99 | 1 | 1,01 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | .. | .. | .. | .. |
نتائج
1∉Df
x≠1 ⇒ f(x)=x+1
الدالة غير معرفة عند 1 ولكن يمكن حساب صور بعض القيم المجاورة للعدد 1 ونتظنن نهاية الدالة
نهاية هذه الدالة عند 1 هي 2
(limx→1f(x)=limx→1(x+1)=2)
2.2.2 تعريف
لتكن
f دالة عددية و a∈IR
اذا كانت f(x) تؤول الى العدد L عندما x يؤول الى a
نكتب
limx→af(x)=L
واحيانا نكتب
limaf(x)=L ونقرأ نهاية f عند a هي L
2.2.3 خاصية
limaf(x)=L ⇔ lima(f(x)-L)=0
تمرين
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
| f(x)= | x²-25 |
| x+5 |
2- احسب lim-5f(x)
تصحيح
لدينا
| x²-25 | = | (x-5)(x+5) |
| x+5 | x+5 |
اذن lim-5f(x)=lim-5(x-5)
lim-5f(x)-(-5)=lim-5(x)=-5
اذن حسب الخاصية السابقة فان
lim-5f(x)=-5+(-5)=-10
3- النهاية المنتهية والنهاية غير منتهية عند ±∞
3.1 النهاية المنتهية عند ±∞
3.1.1 تعريف
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
اذا f(x) تؤول الى L عندما x تؤول الى +∞
نكتب lim+∞f(x)=L
اذا f(x) تؤول الى L عندما x تؤول الى -∞
نكتب lim-∞f(x)=L
3.1.2 مثال
| lim -∞ | 1 | =0 ; | lim -∞ | 1 | =0 |
| x | x² |
| lim +∞ | 1 | =0 |
| √(x) |
3.1.3 خاصية
lim±∞f(x)=L⇔ lim±∞f(x)-L=0
limaf(x)=L⇔ limaf(x)-L=0
3.1.4 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
| f(x)= 2+ | 1 |
| x² |
الاجوبة هنا
نحسب lim+∞f(x)-2
| lim +∞ | f(x)-2 = | lim +∞ | 1 | =0 |
| x² |
3.2 نهاية غير منتهية عند ±∞
3.2.1 تعريف 1
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
اذا كانت f(x) تؤول الى +∞ عندما x تؤول الى +∞
نكتب lim+∞ f(x) = +∞
ونقرأ نهاية f عند +∞ هي +∞
وبالمثل عند +∞ وعند -∞
3.2.2 امثلة
f(x)= x², lim-∞f(x)= +∞
g(x)=x³, lim-∞g(x)=-∞
تمرين
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
f(x)= 5 + x³
احسب lim+∞f(x)
تصحيح
لحساب نهاية f عند +∞
يكفي ان نحسب نهاية f(x)-5
lim+∞f(x)-5= lim+∞x³= +∞
(∞ + 5 =∞ )
lim+∞f(x)= +∞