1.2.5 Equivalence ⇔

Soient p et q deux propositions.
(p équivaut à q) et on écrit p⇔q est une proposition vraie si p et q sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses
sinon elle est fausse.
Autrement dit: si p⇒q et q⇒p sont toutes les deux vraies (ou toute les deux fausse) alors p⇔q est vraie.

Exemples
1) (10=8+10 ⇔ 2>10) est une proposition vraie car les deux propositions sont fausses.

2) (8=4+4 ⇔ 2²=7) est une proposition fausse, car la première est vraie et la deuxième est fausse.
3) (20>10 ⇔ 100=10²) est une proposition vraie car les deux propositions sont vraies.

Table de vérité

Remarques
1) a.b=0⇔a=0 ou b=0
mais a.b=0⇎a=0 et b=0.
2) AB^→=CD^→⇎AB=CD.

1.3 Fonctions propositionnelles

1.3.1 Définition

Une fonction propositionnelle est une phrase qui comporte une variable (ou plusieurs) et si cette variable prend une valeur, la fonction devient une proposition.
Notons qu'une fonction propositionnelle n'est pas une proposition.

1.3.2 Exemples

1) 2x+1 = 0 n'est pas une proposition mais une fonction propositionnelle de variable x.
En effet si x=0 alors 2×0+1=0 est une proposition fausse.
2) 2x+y+1 = 0 n'est pas une proposition mais une fonction propositionnelle de deux variables x et y.

Si on pose y=1 la fonction devient 2x+2=0 et n'est pas une proposition mais une fonction propositionnelle d'une seule variable x.
Si x= 0 et y=-1 alors 2×0-1+1=0 est une proposition vraie.

3) x+y+1 < 0 est une fonction propositionnelle de deux variables x et y.
En effet si x= 1 et y=-1 alors 1-1+1=0 est une proposition fausse.