2- Les quantificateurs

2.1 Quantificateur existentiel

2.1.1 Exemple

Soit p(x) une fonction propositionnelle définie par
(x∈IR): x²-1=0.
Il existe au-moins un élément qui vérifie la fonction p(x). On écrit (∃x∈IR): x²-1=0
On obtient un expression qui a un sens et donc une proposition vraie.

2.1.2 Définition 1

Soit E un ensemble.
L'écriture (∃x∈E) / p(x) signifie qu'il existe au moins un élément dans l'ensemble E qui vérifie p(x).
Le symbole ∃ est appelé quantificateur existentiel.

2.1.3 Définition 2

Soit E un ensemble.
L'écriture (∃!x∈E) / p(x) signifie qu'il existe un seul élément dans l'ensemble E qui vérifie p(x).

Exemples
1) (∃!x∈IN) / x+1=1 est une propostion vraie car il existe un seul élément x=0 tel que 0+1=1.
2) (∃!x∈IR) / x²=4 est une propostion fausse car il existe deux éléments dans IR tels que x²=4 (x=2 ou x=-2).

2.2 Quantificateur universel

2.2.1 Exemple 1

Soit p(x): (x∈R)/ x²≥0 une fonction propositionnelle.
Quelque soit x∈IR on a x²≥0
on écrit donc (∀x∈IR)/ x²≥0.
Le symbole ∀ est appelé quantificateur universel.

2.2.2 Définitions

On considère deux ensembles E et F.
Soit p(x;y) une fonction propositionnelle de deux variables x et y.
L'écriture (∀x∈E)/ p(x;y) reste toujour une fonction propositionnelle de variable y.
L'écriture (∃y∈F)/ p(x;y) reste toujour une fonction propositionnelle de variable x.
L'écriture (∀x∈E)(∃y∈F)/ p(x;y) est une proposion.
L'écriture (∀x∈E)(∀y∈F)/ p(x;y) est une proposion.

Notons que l'ordre des quantificateurs de même type n'a aucun importance sur la valeur de vérité d'une propostion.
(∀x∈I)(∀y∈J)=(∀y∈J)(∀x∈I).
(∃x∈I)(∃y∈J)=(∃y∈J)(∃x∈I).
Remarque La négation de ∃ est ∀
et la négation de ∀ est ∃.
Exemple La négation de la proposition (∀x∈IR): x²≥0 est la proposition (∃x∈IR): x²<0.

Exercice 1 tp

Déterminer la négation de chacune des propostions suivantes.
1) (∀x∈IR): x+1=10.
2) (∃x∈IR): x+1=10.
3) (∀x∈IR): x> 0.
4) (∃x∈IR): x≤2.

Exercice 2 tp

Ecrire les propostions suivantes en utilisant des quantificateurs.
1) Tout entier relatif a un opposé.
2) La partie entière d'un nombre réel est entier relatif.
3) Il y a un nombre réel qui n'a pas d'inverse.