Mathématiques du secondaire qualifiant

Produit scalaire (7)

3.2 L'ensemble des points M(x,y) tel que x²+y²+ax+by+c=0

3.2.1 Rappel
x²+ax = (x+a)²- =0
24
y²+by = (y+b)²- =0
24

donc x²+y²+ax+by+c=0 ⇔

(x+a)²+(y+ b)²=a²+b²-4c
224
3.2.2 Propriétés

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j). On considère l'ensemble
(C)={M(x,y)/x²+y²+ax+by+c=0}.
Si a²+b²-4c>0 alors (C) est un cercle de centre

Ω(-a; -b) et de rayon R=√(a²+b²-4c)
224
et de rayon R = √(a²+b²-4c)
4

a²+b²-4c=0 ⇒(C)=Ω.
a²+b²-4c< 0 ⇒(C)=∅.

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j). On considère l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan ℙ
tels que x²+y²+2x+4y+3=0.
Est ce que (C) est un cercle ?

Correction
a=2 b=4 c=3

a²+b²-4c = 2²+4²-4.3=8 > 0
donc (C) est un cercle de centre

Ω(-2; -4) ou encore Ω(-1 ; -2)
22
R = √(8) = √(2) est le tayon de (C)
4
Exercice 2 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j). On considère l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan ℙ
tels que x²+y²-3x+2y+5=0.
Est ce que (C) est un cercle ?

Correction
a=-3 b=2 c=4

a²+b²-4c = (-3)²+2²-4.5=-7 < 0
donc (C) n'est pas un cercle et de plus (C)=∅.

3.3 Représentation paramétrique d’un cercle

3.3.1 Cercle C(Ω;R)

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i;j). On considère un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
(i) Cas Ω=O(0;0). On pose θ≡(i;OM)

M(x;y)∈(C) ⇔ { x = Rcosθ
y = Rsinθ

(ii) cas général Ω(a;b).
M(x;y)∈(C) ⇔(x-a)²+(y-b)²=R²

⇔(x-a)² + ( y-b)² =1
RR

⇔ (∃θ∈IR) tel que

x-a= cosθ et y-b= sinθ
RR

θ ≡ (i;ΩM)

Donc

M(x;y)∈(C)⇔{ x = a+Rcosθ (θ∈IR)
y = b+Rsinθ

Ce système est une représentation paramétrique du cercle (C).

3.3.2 Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j). On considère un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
une représentation paramétrique du cercle (C) est définie comme suit

{ x = a+Rcosθ (θ∈IR)
y = b+Rsinθ

Exemple
La représentation paramétrique du cercle C de centre I(-2;5) et de Rayon R=3 est le système suivant

{ x = -2 + 3cosθ (θ∈IR)
y = 5 + 3sinθ