Produit scalaire (7)
3.2 L'ensemble des points M(x,y) tel que x²+y²+ax+by+c=0
3.2.1 Rappel
x²+ax = (x+ | a | )²- | a² | =0 |
2 | 4 | |||
y²+by = (y+ | b | )²- | b² | =0 |
2 | 4 |
donc x²+y²+ax+by+c=0 ⇔
(x+ | a | )²+(y+ | b | )²= | a²+b²-4c |
2 | 2 | 4 |
3.2.2 Propriétés
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère l'ensemble
(C)={M(x,y)/x²+y²+ax+by+c=0}.
Si a²+b²-4c>0 alors (C) est un cercle de centre
Ω( | -a | ; | -b | ) et de rayon R=√( | a²+b²-4c | ) |
2 | 2 | 4 |
et de rayon R = √( | a²+b²-4c | ) |
4 |
a²+b²-4c=0 ⇒(C)=Ω.
a²+b²-4c< 0 ⇒(C)=∅.
Exercice 1 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère
l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan ℙ
tels que x²+y²+2x+4y+3=0.
Est ce que (C) est un cercle ?
Correction
a=2 | b=4 | c=3 |
---|
a²+b²-4c = 2²+4²-4.3=8 > 0
donc (C) est un cercle de centre
Ω( | -2 | ; | -4 | ) ou encore Ω(-1 ; -2) |
2 | 2 |
R = √( | 8 | ) = √(2) est le tayon de (C) |
4 |
Exercice 2 tp
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère
l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan ℙ
tels que x²+y²-3x+2y+5=0.
Est ce que (C) est un cercle ?
Correction
a=-3 | b=2 | c=4 |
---|
a²+b²-4c = (-3)²+2²-4.5=-7 < 0
donc (C) n'est pas un cercle
et de plus (C)=∅.
3.3 Représentation paramétrique d’un cercle
3.3.1 Cercle C(Ω;R)
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i→;j→). On considère un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
(i) Cas Ω=O(0;0).
On pose θ≡(i→;OM→)
M(x;y)∈(C) ⇔ { | x = Rcosθ |
y = Rsinθ |
(ii) cas général Ω(a;b).
M(x;y)∈(C) ⇔(x-a)²+(y-b)²=R²
⇔( | x-a | )² + ( | y-b | )² =1 | R | R |
⇔ (∃θ∈IR) tel que
x-a | = cosθ et | y-b | = sinθ | R | R |
θ ≡ (i→;ΩM→)
Donc
M(x;y)∈(C)⇔{ | x = a+Rcosθ | (θ∈IR) |
y = b+Rsinθ |
Ce système est une représentation paramétrique du cercle (C).
3.3.2 Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i→;j→). On considère un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
une représentation paramétrique du cercle (C) est définie comme suit
{ | x = a+Rcosθ | (θ∈IR) |
y = b+Rsinθ |
Exemple
La représentation paramétrique du cercle C de centre I(-2;5)
et de Rayon R=3 est le système suivant
{ | x = -2 + 3cosθ | (θ∈IR) |
y = 5 + 3sinθ |