Exercice 1 tp

Soit n∈IN
Montrer que 11 | (5³ⁿ⁺¹ - 3⁴ⁿ⁺³).

Correction

1) D'une part
5³ⁿ⁺¹ = 5.(125)ⁿ
et 3⁴ⁿ⁺³ = 27.(81)ⁿ
et puisque 11 | 44 ou encore 11 | (125-81)
alors 125 ≡ 27 [11]
⇒ ∀n∈IN, (125)ⁿ ≡ 81ⁿ [11]
ou encore 5³ⁿ ≡ 3⁴ⁿ [11]

2) D'autre part
5-27=-22 et puisque 11 | -22 alors
5 ≡ 27 [11]
3) Donc

{	53n ≡ 34n [11]	⇒ 5.53n ≡ 27.34n [11]
	5 ≡ 27 [11]

ainsi 5³ⁿ⁺¹ - 3⁴ⁿ⁺³ ≡ 0[11]
alors 11 | 5³ⁿ⁺¹ - 3⁴ⁿ⁺³

Exercice 2 tp

Soit n∈IN
Montrer que 5 | (3³ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺²)

Rappel Théorème de Bézout
Soit (a;b)∈ℤ²
a∧b=1 ⇔ (∃(u;v)∈ℤ²): au+bv=1

Exercice 1 tp

Montrer ∃(u;v)∈ℤ² tel que 10u+15v=5

Correction

On pose a=10=2.5 et b=15=3.5
10 et 15 sont non tous nuls et 10∧15=5
donc d'après l'égalité de Bézout
∃(u ; v)∈ℤ² tel que 10u+15v=5

Exercice 2 tp

Soit (a;b)∈ℤ² tel que 25a-18b=1
Montrer que a∧b=1

Correction

25∧(-18)=1, d'après le théorème de Bézout
a∧b=1.