Rappell’équation (diophantienne)
Soient a; b et c ∈ℤ et a∧b=d
si d | c alors l'équation ax+by=c admet au moins une solution dans ℤ².

Exercice 1 tp

1) Montrer que (-7;14) est une solution particulière de l'équation (E) 5x+3y=7.
2) Déterminer l'ensemble de solutions de (E).

Correction

1) On a (5∧3=1 et 1|7 ) donc l'équation (E) admet au moins une solution dans ℤ²
On cherche d'abord une solution particulière (p;q) en utilisant l'algorithme d'Euclide
5=1.3+2
3=1.2+1

Donc 1=3-1.2=3-1.(5-1.3)
= -5+2.3
Ou encore 5.(-1)+3.2=1
ou encore 5.(-7)+3.14=7

Et donc (-7;14) est une solution particulière de l'équation

On soustrait membre à membre les deux égalitées

On obtient
5(x+7)+3(y-14)=0
ou encore 3(y-14)=-5(x+7)
Puisque 3∧5=1 alors 3 | x+7
⇔ (x+7=3k tel que k∈Z) ⇔7+3k tel que k∈Z
Puisque 5x+3y=7 alors 5(-7+3k)+3y=7
⇔ 3y=7+35-15k ⇔ 3y=42-15k
donc y=14-5k
ainsi S = {(-7+3k ; 14-5k) tel que k∈ℤ}
Notons qu'on trouve le même résultat si on a commencé par 5|y-14.