4- Racine n-ième d'un complexe et racine n-ième de l'unité

4.1 Racine n-ième d'un complexe

4.1.1 Définition

Soient Z∈ℂ et n un entier tel que n>1.
Un nombre complexe z tel que Z=zⁿ est appelé racine n-ième (ou d'ordre n) de Z.

4.1.2 Racine carré d'un nombre complexe

Soient Z=x+iy et z=a+ib deux nombres complexes tels que Z²=z et x;y;a;b∈IR.
1) Premier cas L'argument d'un complexe z connu.
Z²=z ⇔ [|Z|²;2argZ]=[|z|;argz] ainsi

Exemple Soit Z²=i
On pose Z=|Z|e^iθ et on a i=e^iπ/2.

avec k=0 ou k=1
donc z²=i ⇔ Z=e^iπ/4 ou Z=e^i5π/4
et donc i admet deux racines carrées

2) Deuxième cas L'argument d'un complexe z inconnu.
Dans ce cas l'écriture algébrique peut être utilisée
Z²=z ⇔ x²-y²+2xy=a+ib

⇔x²-y²=a et 2xy=b.
Ce système peut être combiné avec d'autre proposition vraie (|Z²|=|z|).
|Z²|=|z| ⇔ x²+y²=√(a²+b²).

on fait la somme et on soustrait on obtient

L'équation 2xy=b permet de déterminer les signes de x et y
Si b > 0 alors

Si b < 0 alors

Propriété

Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrés opposées.

Exemple
Déterminer les racines carrées du nombre complexe z=3-4i.

Correction On pose Z=x+iy tel que Z²=z.
On résout le système suivant

ainsi
Z₁= 4(√2)-i√2 et Z₂=-4(√2)+i√2.