3.1.3 Cas général

Soient Z=re^iα∈ℂ* tel que r>0
z=be^iθ∈ℂ tel que b>0 et zⁿ=Z.
zⁿ=Z ⇔ bⁿ.e^inθ=re^iα
⇔ bⁿ=r et nθ=α+2kπ avec 0≤k≤n-1.

avec 0≤k≤n-1.

Propriété
Soient Z=re^iα∈ℂ* avec r>0 et n∈IN*.
Z admet n racines d'ordre n définies par
z_k=ⁿ√(r) x e^i(α+2kπ)/n avec 0≤k≤n-1.

Exemple 1 Soit z² = i. On pose z=|z|e^iθ.
On a i=e^iπ/2 donc

(tels que k=0 ou k= 1)

⇔ z = e^iπ/4 ou z = e^i5π/4
donc i admet deux racines carrées

Exemple 2 Soit z³ = -1.
On pose z=|z|e^iθ et on a -1=e^iπ
donc z³=-1 ⇔ |z|=1 et 3θ=π +2kπ (avec k=0 ou k=1 ou k=2 )
⇔ z=e^i(π+2kπ)/3
⇔ z=e^iπ/3 ou z=e^iπ ou z=e^i5π/3
donc -1 admet trois racines cubiques

Remarque
|z_k|=ⁿ√r est un nombre constant donc les n points M_k images des racines n-ième de z_k se trouvent sur le même cercle (L) de centre O et de rayon ⁿ√(r).
Puisque 0≤k≤n-1 alors la mesure de l'angle

est constante.

Et donc les points M_k forment un polygône régulier inscrit dans le cercle (L).

4.1.4 Images des racines n-ième d'un complexe

Propriété
Soit Z = re^iθ∈ℂ avec r>0.
Les n points M_k images des racines n-ième z_k forment un polygône régulier inscrit dans un cercle (L) de centre O et de rayon ⁿ√(r).

4.2 Racines n-ième de l'unité

4.2.1 Définition

Soit n∈IN*.
On appelle racine n-ième (ou d'ordre n) de l'unité, un nombre complexe z tel que zⁿ=1.

4.2.2 Exemples

Exemple n=2 Soit z∈ℂ tel que z²=1
1=e^i2kπ et on pose z=|z|e^iα.
z²=1 ⇔ |z|²e^i2α = e^i2kπ
⇔ |z|=1 et 2α ≡ 0[2π]
⇔ |z|=1 et α = kπ avec 0≤k≤1

⇔ z=e⁰ⁱ ou z=e^iπ ⇔ z = 1 ou z = - 1.
ainsi l'unité 1 admet deux racines carrées.

Exemple n=3 Soit z∈ℂ tel que z³=1
1=e^i2kπ et on pose z=|z|e^iα
z³=1 ⇔ |z|³e^i3α=e^i2kπ
⇔ |z|=1 et 3α ≡ 0[2π]
⇔ |z|=1 et α=2kπ/3 avec (0≤k≤3-1)
⇔ z=e⁰ⁱ ou z=e^i2π/3 ou z=e^i4π/3 ⇔ z=1

ainsi l'unité 1 admet 3 racines cubiques.

4.2.3 Propriété

Soit n∈IN*
L'unité (1) admet n racines d'ordre n définis par
z_k = e^i(2kπ)/n avec 0≤k≤n-1.

Remarque z_k=(e^i(2π)/n)^k
Les racines n-ième sont donc z₀=z₁°=1; z₁; z₁²; .. ; z₁^n-1.

4.2.4 Somme des racines n-ième de l'unité

La somme des racines n-ième de l'unité est 0.