4.3 Equation az²+ bz+ c = 0 avec a;b; c∈ℂ et a≠0

4.3.1 Equation z² = a avec a∈ℂ

Rappel
Tout nombre complexe non nul admet deux racines opposées.

Soient z∈ℂ et S l'ensemble des solutions de l'équation z²=a avec a∈ℂ* et arg(a)≡θ[2π]
S={ √|a|e^iθ/2 ; -√|a|e^iθ/2 }.

Exemple 1 Résoudre dans ℂ l'équation
z² = -i.

Correction On sait que i = e^iπ/2
donc -i = e^-iπ/2
ainsi S = { e^{- iπ/4} ; -e^{- iπ/4}}.

Exemple 2 Résoudre dans ℂ l'équation
z² = 4+3i.
Correction On pose z=x+iy
b = 3 > 0 donc x et y sont de même signe.

{	x²-y²=4
	2xy=3 > 0
	x²+y² = √(4²+3²)=5

ou	{	x =	√2(4+√25)
			2
		y =	√2(√(25)-4)
			2
	{	x =	-√2(4+√(25))
			2
		y = -	√2(√(25)-4)
			2

Et donc

ou	{	x =	9√2
			2
		y =	√2
			2
	{	x =	-9√2
			2
		y = -	√2
			2

Donc

{	z1 =	9√2	+i	√2
		2		2
	z2=	-9√2	- i	√2
		2		2

ainsi

S = {	9√2	+ i	√2	;	-9√2	- i	√2	}
	2		2		2		2

Exemple 3 Résoudre dans ℂ l'équation
z² = 1-i.
Correction On pose z=x+iy.
b=-1 < 0 donc x et y sont des signes opposés.

{	x²-y² = 1
	2xy = -1 < 0
	x²+y²=√(1²+(-1)²) = √(2)

ou	{	x =	√(2)(1+√2)
			2
		y =	- √(2)(√(2)-1)
			2
	{	x=	-√(2)(1+√(2))
			2
		y =	√(2)(√(2)-1)
			2

Donc

{	z1 =	2+√2	+ i	-2 + √2
		2		2
	z2 =	-2 - √2	+ i	2 - √2
		2		2

ainsi

S =	{	2 + √2	+ i	-2 + √2
		2		2
;	-2 - √2	+ i	2 - √2	}
	2		2