4.3.2 L'équation az²+bz+c=0

Forme canonique d’un trinôme
On considère dans ℂ le trinôme T(z)=az²+bz+c avec a;b;c∈ℂ et a≠0.

Δ= b²-4ac est le discrimiant du trinôme T(z)br> La forme canonique de T(z)

Résolution de l'équation
(E): az²+bz+c=0 et a≠0
a;b;c∈ℂbr> 1) Si Δ = 0

ainsi l'équation (E) admet une solution complexe double

2) Si Δ≠ 0 (dans ℂ il n'y a pas d'ordre)
On peut poser δ² = Δ

Et l'ensemble des solutions de l'équation est donc

Propriétés
Soient (E): az²+bz+c=0 une équation définie sur ℂ avec a;b;c∈ℂ et a≠0
et Δ = b²-4ac le disciminant de (E)
1) Si Δ=0 l'équation (E) admet une solution complexe double

2) Si Δ≠0 alors l'équation (E) admet deux solutions complexes

Résultat
Si Δ≠0 alors la factorisation du trinôme T(z) est définie par
T(z) = a(z - z₁)(z - z₂) avec z₁ et z₂ sont les racines du trinôme T(z).

Exemple
Résoudre dans ℂ l'équation
z² - z + 1+i = 0
et donner les formes exponentielles des solutions.

Correction

Δ = b²-4ac =(-1)²-4.1.(1+i) =-3-4i
On pose Δ=δ² avec δ=x+iy
Une racine carrée de Δ est due à la résolution du système suivant

xy < 0 donc x et y sont des signes opposés.

2x² = (-3)+5 et 2y² = 5 - (-3)
ou encore (x=1 et y=-2) ou (x=-1 et y=2).
Il suffit de poser δ=1-2i donc

ou encore z₁ = i et z₂ = 1 - i
ainsi S = { i ; 1-i}.

Forme exponentielle de i
i = 0 + 1i = e^{iπ/2
Forme exponentielle de 1-i
|1-i| = √(2)}

donc
i-i = √(2)e^-iπ/4.