Cas particulier
Si a;b:c∈IR et Δ < 0 alors l'équation (E) définie par
az²+bz+c=0 admet deux solutions conjuguées.

S = {	-b - i√(|Δ|)	;	-b + i√(|Δ|)	}
	2a		2a

Exercice 1 tp

1) On considère l'équation (E) dans ℂ
Z²-(2-i)Z+3-i =0
(a) Déterminer Δ le discriminant de(E).
(b) Résoudre dans ℂ l'équation (E).

Correction

2) Δ = b²-4ac

a = 1

b = -(2-i)

c = 3-i

Δ = (2-i)²-4(3-i)
= 4-4i+i²-12+4i
= -9 = (3i)²=δ²

Donc

ou	z1 =	-b - δ	=	2-i - 3i
		2a		2
	z2 =	-b + δ	=	2-i+3i
		2a		2

ou encore
z₁ = 1 - 2i et z₂ = 1 + i
ainsi S = { 1 - 2i ; 1 + i }.

Exercice 2 tp

1) Déterminer une racine carrée de z=3+4i.
2) On considère l'équation (E) dans ℂ
Z²-iZ-1-i =0.
(a) Déterminer Δ le discriminant de(E).
(b) Résoudre dans ℂ l'équation (E).

Correction

1) On pose X=x+iy tel que X²=z.
x²-y²+2xyi=3+4i
ou encore x²-y²=3 et 2xy=4 > 0
et on a de plus |X|=|z|=√(3²+4²)=5.

{	x²-y² =	3
	2xy =	4 > 0
	x²+y² =	√(3²+4²) = 5

donc 2x² = 3 + 5 = 8
et 2y² = 5 - 3 = 2.
On a (x.y > 0) donc x et y sont de même signe
donc (x = 2 et y = 1)
ou (x = -2 et y = -1)
ainsi δ=2+i ou δ=-2-i.

2) Δ = b²-4ac

a = 1

b = -i

c = -1-i

Δ = (-i)²-4.1.(-1-i)
= -1+4+4i = 3+4i.
D'après la question (1)
3+4i = (2+i)² donc

ou	z1 =	-b - δ	=	i - 2-i
		2a		2
	z2 =	-b + δ	=	i+2+i
		2a		2

ainsi S = {-1 ; 1 + i}.

4.3.3 Somme et produit des racines

On considère un trinôme T(z)=az²+bz+c=0 tel que a≠0 qui admet deux racines z₁ et z₂ dans ℂ.

z1 + z2=	- b	et z1 x z2 =	c
	a		a

Exemple
On considère le trinôme T(z)
T(z)=iz²+(1-i)z+4 de racines (z₁ et z₂)

z1 + z2=	- (1-i)	et z1 x z2 =	4
	i		i

Exercice 3 tp

Résoudre dans ℂ l'équation
(E) z²-(1+3i)z -2 + 2i = 0 sans calculer le discriminant.

Correction

Soient z₁ et z₂ les solutions de l'équation (E)

donc {	z1 + z2 = 1+3i	⇔ {	z1 + z2 = 2i + 1+i
	z1 x z2 = -2+2i		z1 x z2 = 2i(1+i)

On déduit donc S = {2i ; 1+i}.