1.2 Plan complexe

1.3.1 Affixe d'un point et d'un vecteur

Définition 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u^→;v^→).
1) On associe chaque nombre complexe z=a+bi (tels que a;b∈IR) au point M(a;b) appelé point image de z et le vecteur OM^→ est appelé vecteur image de z.

Définition 2
Inversement, on associe chaque point M(a;b) du plan au nombre complexe z=a+bi appelé l'affixe du point M et aussi l'affixe du vecteur OM^→.
La notation M(z) signifie que le point M ayant pour affixe z.
La notation z_M signifie que z est l'affixe du point M.

Plan complexe
1) L'ensemble des points M(z) tel que (z∈ℂ) est appelé Plan complexe.
2) L'axe (O,u^→) est appelé l'axe des parties réelles.
3) L'axe (O;v^→) est appelé l'axe des parties imaginaires.

1.2.2 Affixe du vecteur AB^→

Soient A(z) et B(z') deux points du plan complexe tels que z=x+yi et z'=x'+y'i avec x;y;x';y'∈IR
On a AB^→=(x'-x)u^→+(y'-y)v^→ donc l'affixe du vecteur AB^→ est x'-x+(y'-y)i
or x'-x+(y'-y)i=(x'+y'i)-(x+yi)=z'-z.

Propriété
Soient A(z) et B(z') deux points du plan complexe.
L'affixe du vecteur AB^→
Z_AB^→ = z'-z.

Exemple
Soient A(-4+3i) et B(-1+5i) deux points.
Déterminer l'affixe du vecteur AB^→.

Correction
aff(AB^→)=(-1+5i)-(-4+3i)
=-1-(-4)+i(5-3)
ainsi aff(AB^→)=3+2i.

1.3.3 Affixe du milieu d'un segment [AB]

I est milieu du segment [AB]
⇔ 2OI^→=OA^→+OB^→
donc 2.aff(I)= z+z'.

Propriété
Soient A(z) et B(z') deux points.
L'affixe du milieu I de [AB] est défini par

Exemple
Soient A(7+3i) et B(-3+5i) deux points.
Déterminer l'affixe du milieu du segment [AB].

Correction

ainsi aff(I) = 2+4i.