الاعداد العقدية (3)
7.2 المرور من الاحداتيات القطبية الى الاحداتيات الديكارتية
لدينا M(r;θ): z=r(cosθ+isinθ)
نعلم ان الشكل الجبري يكتب على الشكل z=x+iy حيث x و y∈IR اذن
x=rcosθ و y=rsinθ.
مثال
لتكن M(2;π/4) اذن x=2cosπ/4 و y=2sinπ/4
اي x=2.(√2)/2 و y=2.(√2)/2 وبالتالي M(√2;√2).
7.3 زاوية متجهتين
لتكن p→ و q→ متجهتين
(p→;q→) = (p→;u→) + (u→;q→)
= (u→;q→) - (u→;p→) + 2kπ
لدينا aff(p→+q→) = aff(p→)+aff(q→)
و aff(kp→)=kaff(p→)
affAB→ = aff(B) - aff(A)
AB=|affB - affA|
7.3.1 خاصية
لتكن A(z); B(z'); C(z") و D(z"') نقط من المستوى العقدي
(u→;AB→)=argz'-argz+2kπ حيث k∈ℤ
| (AB→;CD→) =arg | c-d | +2kπ; k∈ℤ |
| b-a |
تمرين
نعتبر A; B; C بحيث Za=1
| Zb= | 1 | - i | √3 |
| 2 | 2 | ||
| Zc= | 1 | + i | √3 |
| 2 | 2 |
1) احسب المسافات AB; AC; BC
2) حدد قياسا للزاوية (AB;AC)
تصحيح
1) AB=|Zb-Za|=|(0,5-1)-i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)=1
AC=|Zc-Za|=(0,5-1)+i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)=1
BC=|Zc-Zb|=|(0,5-0,5)+i(√3)|=3
2)
| (AB→;AC→) =arg | c-a | [2π] |
| b-a | ||
| =arg | -0,5+i(0,5)√3 | [2π] |
| -0,5-i(0,5)√3 |
= arg(-0,5+i(0,5)√3)
- arg(-0,5-i(0,5)√3)
| = | 2π | - | (-2π) |
| 3 | 3 | ||
| = | 4π | +2kπ ;k∈ℤ | |
| 3 | |||
| = | -2π | +2kπ ;k∈ℤ | |
| 3 |
7.3.2 استقامية ثلاث نقط
A(z) ; B(z') و C(z") مستقيمية
⇔(∃t∈IR): AC→=tAB→
| ⇔ | c-a | =t∈IR |
| b-a |
خاصية
A(a) ; B(b) و C(c) نقط مستقيمية:
| ⇔ | c-a | ∈IR |
| b-a | ||
| ⇔arg | c-a | =0 ou π+2kπ |
| b-a |
7.3.3 نتيجة
(AB)⊥(CD)
| ⇔arg | c-d | =π/2 او -π/2 +2kπ |
| b-a |
k∈ℤ
8- التعبيرات العقدية للتحويلات الاعتيادية
8.1 الازاحة
لتكن t ازاحة متجهتها u→(a) و M(z) نقطة من المستوى العقدي
t(M)=M' ⇔ MM'=u
اذن z'-z=a اي z'=z+a
8.1.1 خاصية
لتكن t ازاحة متجهتها u→(a) الشكل العقدي للازاحة t هو z'=z+a حيث t(M(z))=M'(z').
8.1.2 مثال :
حدد الشكل العقدي للازاحة t التي متجهتها u→(1+2i)
تصحيح
لتكن M(z) نقطة لحقها z و M'(z') صورتها بالازاحة t
الشكل العقدي للازاحة t هو :
z'=z+1+2i
تمرين :
لتكن t
1)حدد الشكل العقدي للازاحة t التي متجهتها u→(1-i)
2) حدد B صورة النقطة A(3+2i) ب t
8.2 التماثل
ليكن S تماثل مركزي مركزه W(a)
S(M)=M' ⇔ WM→= -WM→
⇔z'= a+-(z-a) = -z +2a
8.2.1 خاصية
ليكن S تماثل مركزي مركزه W(a), الشكل العقدي للتماثل المركزي S هو z'=-z+2a حيث S(M(z))=M'(z').
8.2.2 مثال :
ليكن S تماثل مركزي مركزه W(5i)
حدد الشكل العقدي للتماثل المركزي S
تضحيح
الشكل العقدي للتماثل المركزي S هو : z'=-z+2.5i=-z+10i
8.3 التحاكي
ليكن h تحاك مركزه W(a) ونسبته k
h(M)=M' ⇔ WM→= kWM→
⇔z'= a+k(z-a) = kz +(1-k)a
8.3.1 خاصية
ليكن h تحاك مركزه W(a) ونسبته k, الشكل العقدي للتحاكي h هو z'=a+k(z-a) حيث h(M(z))=M'(z').
8.3.2 مثال :
حدد الشكل العقدي للتحاكي h(W(1+i);3)
تصحيح
لتكن M(z) نقطة لحقها z و M'(z') صورتها بالتحاكي h,
الصيغة العقدية التحاكي h هو :
z'=1+i+3(z-1-i)=3z-2-2i
9- صيغة موافر وصيغة اولر
9.1 صيغة موافر
9.1.1 خاصية
لكل عدد حقيقي x وكل عدد طبيعي n
(cosx + isinx)n=cosnx+isinnx
برهان
نتبع البرهان بالترجع
من اجل n=2 لدينا (cosx+isinx)²=cos²x-sin²x+2icosxsinx
=-1+2cos²x+isin2x=-1+1+cos2x+isinx
اذن (cosx+isinx)²=cos2x+isin2x ومنه فان الخاصية صحيحة من اجل n=2
نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1
(cosx+isinx)n+1=(cosx+isinx)n(cosx+isinx)
=(cosnx+isinnx)(cosx+isinx)
=cosnx.cosx-sinnx.sinx+i(cosnxsinx+sinnx.cosx)
=cos(nx+x)+isin(nx+x)
=cos(n+1)x+isin(n+1)x وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
نستنتج اذن ان ∀n∈IN, (cosx+isinx)n=cosnx+isinnx
9.1.2 مثال
(cos(π/5)+isin(π/5))³
= cos3π/5 + isin3π/5
(cos(2π/7)+isin(2π/7))14
= cos28π/7 + isin28π/7
= cos3π + isin3π=-1
9.1.3 نتيجة
∀z=[r;x], zn=[rn;nx]
9.1.4 مثال
2(cos(π/5)+isin(π/5)))³
=4(cos3π/5 + isin3π/5)
(5(cos(π/8)+isin(π/8)))4
=54(cosπ/2 + isinπ/2)
=54(0+i)=54i