9.2 صيغة اولر

9.2.1 خاصية

ليكن z=cosx+isinx∈ℂ ; z+z =2cosx
و z-z =i2sinx

cosx=	(z+z)	و sinx=	(z-z)
	2		2i

9.2.2 خاصية

∀x∈IR و ∀n∈IN

cosnx=	(zn+zn)	و sinnx=	(zn-zn)
	2		2i

تمرين 1

1) اخطط sin²x
وحدد الدوال الاصلية ل sin²x
2) اخطط cos²x
وحدد الدوال الاصلية ل cos²x

تمرين 2

1) اخطط sin³x
وحدد الدوال الاصلية ل sin³x
2) اخطط cos³x
وحدد الدوال الاصلية ل cos³x

تمرين 3

حدد مجموعة النقط M(Z) من المستوى بحيث

|	Z-1+i	|=1
	Z+2i

تصحيح

|	Z-1+i	|=1⇔|Z-1+i|=|Z+2i|
	Z+2i

⇔|Z-(1-i)|=|Z-(-2i)|
⇔AM=BM ; A(1-i) ; B(-2i)
وهذا يعني ان M تنتمي الى واسط القطعة [AB]
اذن مجموعة النقط M(Z) هي واسط القطعة [AB]

تمرين 4

نعتبر النقط A(1-i); B(2i); C(2+2i) حدد مجموعة النقط M(Z) من المستوى بحيث
||2MA^→+MB^→-MC^→||=2√2

تصحيح

لدينا 2+1-1=2≠0 اذن النقط المتزنة (A;2) ; (B;1) ; (C;-1) تقبل مرجحا نرمز له ب G
||2MA^→+MB^→-MC^→||=2√2
⇔||(2+1-1)MG^→||=2√2
⇔2MG=2√2⇔MG=√2
وهذا يعني ان M تنتمي الى الدائرة التي مركزها G وشعاعها√2
2OG^→=2OA^→+OB^→-OC^→
G(Za+(0,5)Zb-(0,5)Zc)
وبالتالي مجموعة النقط M(Z) هي دائرة مركزها G(-i) وشعاعها √2

10- الترميز الاسي لعدد عقدي غير منعدم

10.1 تعريف وخاصيات

10.1.1 تعريف

كل عدد عقدي z معياره 1 وعمدته x يكتب على الشكل z=e^ix=cosx+isinx =[1;x]

10.1.2 مثال :

z=e^iπ/3= cosπ/3 + isinπ/3

10.1.3 الحالة العامة

∀z∈ℂ*∃x∈IR z=|z|e^ix

10.1.4 نتيجة

∀z=[r;x], zⁿ=[rⁿ;nx]=rⁿ.e^inx

10.2 خاصيات

ليكن z=re^ix و z'=r'e^ix'
z.z'= rr'e^i(x+x')

1	=	1	e-ix'
z'		r'
z	=	r	ei(x-x')
z'		r'

تمرين 1

اكتب z=(1+i).(1+√3i) على الشكل الاسي

تصحيح:

لدينا 1+i=√2(cosπ/4+isinπ/4) = √2e^iπ/4
و 1+√3i =2(cosπ/3 +isinπ/3) =2e^iπ/3
اذن z= 1.2 e^{i(π/4 + π/3)}
ومنه فان z=2e^i7π/12

تمرين 2

اكتب z=(2-2i).(1+i√3)^-1 على الشكل الاسي

تصحيح:

لدينا 2+2i==2√2(cos-π/4 + isin-π/4)=2√2 e^-iπ/4
و 1+i√3 =2(cosπ/3 + isinπ/3) = 2e^iπ/3
اذن z=2√2 .2 e^{i(-π/4 - π/3)}
ومنه فان z= 4√2 e^-i7π/12

10.3 صيغة اولر

10.3.1 خاصية

ليكن z=cosx+isinx∈ℂ ; z+z =2cosx
و z-z =i2sinx

cosx=	(z+z)	=	(eix+e-ix)
	2		2

sinx=	(z-z)	=	(eix-e-ix)
	2i		2i

10.3.2 خاصية

∀x∈IR و ∀n∈IN

cosnx=	(zn+zn)	=	(einx+e-inx)
	2		2
sinnx=	(zn-zn)	=	(einx-e-inx)
	2i		2i

10.4 الدوران

10.4.1 تذكير :

R دوران مركزه W وزاويته x يكافئ كل نقطة M من المستوى ; WM=WM' و (WM;WM')=x+2kπ حيث k∈ℤ
لدينا WM=| z-a | و WM'=| z'-a | اذن :

	|	z'-a	|=1
		z-a
	arg	z'-a	=x +2kπ; k∈Z
		z-a

وبما ان كل عدد عقدي له كتابة وحيدة فان

z'-a	=[1;x] = eix
z-a

10.4.2 خاصية:

لتكن M(z) نقطة من المستوى العقدي و M'(z') صورتها بالدوران الذي مركزه W(a); a∈ℂ وزاويته x
الكتابة العقدية للدوران R هي :
z'=a+(z-a)e^ix

10.4.3 مثال :

ليكن R دورانا مركزه W(2i) وزاويته π/3
حدد الشكل المثلثي للدوران R

تصحيح

الصيغة العقدية لدوران R هي z'=2i+(z-2i)e^iπ/3
=2i+(z-2i)(0,5 + i√3/2)
= (0,5)(1+i√3)z +2i-i+√3
= (0,5)(1+i√3)z +i+√3
وبالتالي R: z'=(0,5)(1+i√3)z +i+√3

تمرين

ليكن R دورانا مركزه W(i) وزاويته π/2
1) حدد الشكل العقدي للدوران R
2) حدد النقطة B صورة النقطة A(1-i) بالدوران R.